THCS
THCS
Bài toán công việc chung, công việc riêng là một dạng toán nâng cao thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán lớp 5. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về vận tốc, thời gian và quãng đường, đồng thời có khả năng phân tích và giải quyết vấn đề một cách linh hoạt.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải bài toán công việc chung, công việc riêng một cách hiệu quả nhất.
Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 8 giờ sẽ hoàn thành xong, nếu người thứ nhất làm việc một mình thì sau 12 giờ sẽ xong. Hai người cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 10 ngày. Sau 7 ngày cùng làm thì người thứ nhất nghỉ việc ...
Phương pháp giải: - Quy ước công việc cần hoàn thành là 1 đơn vị - Tìm 1 trong 1 giờ (1 ngày, 1 phút, …) mỗi người làm được bao nhiêu phần công việc |
Ví dụ 1: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 8 giờ sẽ hoàn thành xong, nếu người thứ nhất làm việc một mình thì sau 12 giờ sẽ xong. Hỏi người thứ hai làm một mình trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó.
Phương pháp giải:
- Tính trong 1 giờ người thứ nhất làm được bao nhiêu phần công việc.
- Tính trong 1 giờ cả hai người làm được bao nhiêu phần công việc
- Tính trong 1 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc. Từ đó tìm được đáp án.
Giải:
Trong 1 giờ làm chung, cả hai người làm được số phần công việc là:
1 : 8 = $\frac{1}{8}$ (công việc)
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được số phần công việc là:
1 : 12 = $\frac{1}{{12}}$ (công việc)
1 giờ người thứ hai làm được số phần công việc là:
$\frac{1}{8} - \frac{1}{{12}} = \frac{1}{{24}}$ (công việc)
Người thứ hai hoàn thành công việc đó trong số giờ là:
$1:\frac{1}{{24}} = 24$ (giờ)
Đáp số: 24 giờ
Ví dụ 2: Một cái bể không có nước, người ta chỉ mở vòi thứ nhất thì sau 4 giờ sẽ đầy bể, nếu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 6 giờ sẽ đầy bể. Hỏi nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể sẽ đầy nước?
Phương pháp giải:
- Tính trong 1 giờ mỗi vòi chảy được mấy phần bể
- Tính trong 1 giờ cả hai vỏi chảy được bao nhiêu phần bể từ đó tìm được đáp án.
Giải
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể là:
1 : 4 = $\frac{1}{4}$ (bể)
1 giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể là:
1 : 6 = $\frac{1}{6}$ (bể)
1 giờ cả hai vòi chảy được số phần bể là:
$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}}$ (bể)
Thời gian để cả hai vòi cùng chảy đến khi đầu bể là
$1:\frac{5}{{12}} = \frac{{12}}{5}$ (giờ)
Đáp số: $\frac{{12}}{5}$ giờ
Ví dụ 3: Hai người cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 10 ngày. Sau 7 ngày cùng làm thì người thứ nhất nghỉ việc, người thứ hai phải làm nốt phần việc còn lại trong 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?
Giải
Hai người làm chung trong 1 ngày được số phần công việc là
1 : 10 = $\frac{1}{{10}}$ (công việc)
Trong 7 ngày, hai người làm được số phần công việc là
$\frac{1}{{10}} \times 7 = \frac{7}{{10}}$ (công việc)
Công việc còn lại người thứ hai cần hoàn thành là
$1 - \frac{7}{{10}} = \frac{3}{{10}}$ (công việc)
Trong 1 ngày người thứ hai hoàn thành được số phần công việc là
$\frac{3}{{10}}:9 = \frac{1}{{30}}$ (công việc)
Trong 1 ngày người thứ nhất làm được số phần công việc là
$\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{30}} = \frac{1}{{15}}$ (công việc)
Đáp số: Người thứ nhất: 15 ngày
Người thứ hai: 30 ngày
Bài toán công việc chung, công việc riêng là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán nâng cao lớp 5. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ mối quan hệ giữa công việc, năng suất và thời gian. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương pháp giải loại bài toán này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành.
Công việc chung: Là công việc được hoàn thành khi nhiều người (hoặc máy móc) cùng làm việc.
Công việc riêng: Là công việc được hoàn thành bởi một người (hoặc máy móc) trong một khoảng thời gian nhất định.
Năng suất: Là khả năng làm việc của một người (hoặc máy móc) trong một đơn vị thời gian. Năng suất thường được đo bằng lượng công việc hoàn thành trong một giờ, một ngày, hoặc một đơn vị thời gian khác.
Có hai phương pháp chính để giải bài toán công việc chung, công việc riêng:
Nếu A làm công việc trong x giờ, B làm công việc trong y giờ, thì cả hai cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong:
Thời gian = xy / (x + y) giờ
Dạng 1: Bài toán hai người cùng làm.
Ví dụ: Hai người cùng làm một công việc. Người thứ nhất làm xong công việc trong 6 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 8 giờ. Hỏi nếu cả hai người cùng làm thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Giải:
Thời gian = (6 * 8) / (6 + 8) = 48 / 14 = 24/7 giờ ≈ 3.43 giờ
Dạng 2: Bài toán có thời gian làm việc khác nhau.
Ví dụ: Một người thợ làm một công việc trong 10 giờ. Sau khi làm được 4 giờ, người đó được nghỉ và một người thợ khác đến làm tiếp công việc đó trong 5 giờ thì hoàn thành. Hỏi người thợ thứ hai làm trong bao lâu thì xong công việc?
Giải:
Phần công việc còn lại là: 1 - (4/10) = 6/10
Thời gian người thợ thứ hai làm là: (6/10) / (1/5) = 3 giờ
Dạng 3: Bài toán có nhiều người cùng làm.
Ví dụ: Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất làm xong công việc trong 5 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 7 giờ, người thứ ba làm xong công việc trong 9 giờ. Hỏi nếu cả ba người cùng làm thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Giải:
Thời gian = (5 * 7 * 9) / (5 * 7 + 5 * 9 + 7 * 9) = 315 / (35 + 45 + 63) = 315 / 143 giờ ≈ 2.20 giờ
Bài toán công việc chung, công việc riêng là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán nâng cao lớp 5. Việc nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.