Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo

I. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Khái niệm giới hạn là nền tảng của giải tích. Nói một cách đơn giản, giới hạn của một hàm số f(x) khi x tiến tới một giá trị 'a' là giá trị mà f(x) 'tiến gần' đến khi x càng ngày càng gần 'a' nhưng không bằng 'a'.

1. Định nghĩa giới hạn

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa 'a', trừ có thể tại 'a'. Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn L khi x tiến tới 'a' nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.

Ký hiệu: lim (x→a) f(x) = L

2. Các dạng giới hạn vô cùng

• lim (x→a) f(x) = +∞: Hàm số f(x) tăng vô hạn khi x tiến tới 'a'.
• lim (x→a) f(x) = -∞: Hàm số f(x) giảm vô hạn khi x tiến tới 'a'.

II. Giới hạn của hàm số tại vô cực

Giới hạn của hàm số tại vô cực cho phép chúng ta hiểu hành vi của hàm số khi x trở nên rất lớn (dương hoặc âm).

1. Định nghĩa giới hạn tại vô cực

lim (x→+∞) f(x) = L: Hàm số f(x) tiến tới L khi x tăng vô hạn.

lim (x→-∞) f(x) = L: Hàm số f(x) tiến tới L khi x giảm vô hạn.

III. Hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x = a.
2. Hàm số f(x) có giới hạn tại x = a.
3. lim (x→a) f(x) = f(a).

1. Các loại hàm số liên tục

• Hàm đa thức liên tục trên R.
• Hàm hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó.
• Hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của nó.

IV. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để giúp bạn hiểu rõ hơn về chương này:

1. Tính các giới hạn sau:
• lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
• lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)
2. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x^2, nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

V. Kết luận

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục là một chương quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức trong chương này sẽ giúp bạn có nền tảng vững chắc để học các chương tiếp theo. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu sâu và vận dụng linh hoạt các khái niệm và định lý đã học.