Giải bài 3 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 3 trang 90 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 90 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Xét tính liên tục của hàm số: a) \(f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right|\) tại điểm \(x = - 1\); b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\;\;\;khi\;x \ne 1\\\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\) tại điểm \(x = 1\).
Đề bài
Xét tính liên tục của hàm số:
a) \(f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right|\) tại điểm \(x = - 1\);
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\;\;\;khi\;x \ne 1\\\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\) tại điểm \(x = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), chứa điểm \( - 1\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0;\) \(f\left( { - 1} \right) = \left| { - 1 + 1} \right| = 0\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 0\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \(x = - 1\).
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), chứa điểm 1.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right)\) nên hàm số g(x) không liên tục tại điểm \(x = 1\).
Giải bài 3 trang 90 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tổng quan
Bài 3 trang 90 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng vẽ đồ thị là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Nội dung bài tập
Bài 3 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ đồ thị hàm số y = cos(x) trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số đã cho.
- Xác định các điểm giao nhau của hai đồ thị.
- Giải các phương trình lượng giác dựa trên đồ thị.
- Phân tích tính chất của hàm số và đồ thị.
Lời giải chi tiết bài 3 trang 90
Câu a: Vẽ đồ thị hàm số y = cos(x)
Để vẽ đồ thị hàm số y = cos(x), ta cần xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị, chẳng hạn như:
- Điểm (0, 1)
- Điểm (π/2, 0)
- Điểm (π, -1)
- Điểm (3π/2, 0)
- Điểm (2π, 1)
Nối các điểm này lại với nhau, ta được đồ thị hàm số y = cos(x). Lưu ý rằng đồ thị hàm số cosin có tính đối xứng qua trục Oy và có chu kỳ là 2π.
Câu b: Xác định các điểm giao nhau
Để xác định các điểm giao nhau của hai đồ thị, ta cần giải phương trình cos(x) = f(x), trong đó f(x) là hàm số đã cho trong đề bài. Các nghiệm của phương trình này chính là hoành độ của các điểm giao nhau. Tung độ của các điểm giao nhau được tính bằng cách thay hoành độ vào một trong hai hàm số.
Câu c: Giải phương trình lượng giác
Dựa vào đồ thị, ta có thể dễ dàng tìm ra các nghiệm của phương trình lượng giác. Ví dụ, nếu đồ thị hàm số y = cos(x) cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại các điểm có hoành độ x1, x2, x3, thì x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình cos(x) = f(x).
Các lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về đồ thị hàm số lượng giác, cần lưu ý những điều sau:
- Nắm vững các tính chất của hàm số lượng giác, chẳng hạn như tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ.
- Biết cách vẽ đồ thị hàm số lượng giác bằng cách xác định các điểm đặc biệt và sử dụng các phép biến đổi đồ thị.
- Sử dụng đồ thị để giải các phương trình lượng giác và các bài toán liên quan.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ví dụ minh họa
Giả sử bài tập yêu cầu vẽ đồ thị hàm số y = cos(x) và y = sin(x) trên cùng một hệ trục tọa độ. Ta có thể thực hiện như sau:
- Vẽ đồ thị hàm số y = cos(x) như đã hướng dẫn ở trên.
- Vẽ đồ thị hàm số y = sin(x) bằng cách xác định các điểm đặc biệt và sử dụng các phép biến đổi đồ thị.
- Xác định các điểm giao nhau của hai đồ thị bằng cách giải phương trình cos(x) = sin(x).
Kết luận
Bài 3 trang 90 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác và đồ thị hàm số. Việc nắm vững các kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.
Bảng tổng hợp các công thức liên quan
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| cos(-x) = cos(x) | Hàm cosin là hàm chẵn |
| cos(x + 2π) = cos(x) | Hàm cosin có chu kỳ là 2π |
| cos(π/2 - x) = sin(x) | Công thức biến đổi lượng giác |
