THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em nắm vững kiến thức.
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\). a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\);
Đề bài
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\);
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \);
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:
a) Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\cos u = \cos v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) Với mọi số thực m, phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = m\).
Lời giải chi tiết
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \) \( \Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi < \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 23}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{18}};\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}}} \right\}\).
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên:
TH1: \( - \pi < \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 35}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
TH2: \( - \pi < \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 31}}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}}} \right\}\).
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9} \) \( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{9} = \frac{{4\pi }}{9} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{3} < k < \frac{2}{3}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right\}\).
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hàm số lượng giác để giải các bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán liên quan đến góc và cạnh trong tam giác.
Bài 5 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải câu a, ta cần sử dụng định lý sin trong tam giác. Định lý sin phát biểu rằng:
a/sinA = b/sinB = c/sinC
Trong đó:
Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có:
BC/sinA = AC/sinB
Thay số, ta được:
BC/sin60° = 10/sin45°
BC = (10 * sin60°) / sin45°
BC ≈ 14.14 cm
Để giải câu b, ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin phát biểu rằng:
a² = b² + c² - 2bc * cosA
Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABC, ta có:
AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cosC
Thay số, ta được:
AB² = 10² + 14.14² - 2 * 10 * 14.14 * cos30°
AB² ≈ 49.99
AB ≈ 7.07 cm
Hàm số lượng giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về hàm số lượng giác và ứng dụng của nó trong thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải bài tập và đạt kết quả tốt.
