Giải bài 5 trang 58 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 5 trang 58 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 5 trang 58 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau: a) \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\); b) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\); c) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\).
Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau:
a) \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\);
b) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\);
c) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Lời giải chi tiết
a) \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 13}}{{3\left( {n + 1} \right) - 2}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)\( = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)\( = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Lại có: \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}}\), suy ra: \( - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\)\( = \frac{{{n^2} + 5n + 5}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\)
\( = \frac{{\left( {{n^2} + 5n + 5} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {{n^2} + 3n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Lại có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}} > \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n + 1}} = n + 1 \ge 2\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn dưới.
c) Ta có: \({u_n} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 + \left( {n + 1} \right) + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}}}\)\( = \sqrt {\frac{{1 + n + {n^2}}}{{{n^2} + 3n + 3}}} < 1\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Lại có: \(n \ge 1,{n^2} \ge 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\)\( \Rightarrow {n^2} + n + 1 \ge 3\;\forall n \in \mathbb{N}*\)\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} }} \le \frac{1}{3}\;\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \(0 < \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Giải bài 5 trang 58 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tổng quan
Bài 5 trang 58 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng vẽ đồ thị là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Nội dung bài tập
Bài 5 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ đồ thị hàm số y = cos(x) trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = cos(x + π/2).
- So sánh tính chất của hai đồ thị vừa vẽ.
- Xác định các điểm đối xứng của đồ thị hàm số y = cos(x).
Lời giải chi tiết
Phần 1: Vẽ đồ thị hàm số
Để vẽ đồ thị hàm số y = cos(x) và y = cos(x + π/2), ta cần xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị. Đối với hàm số y = cos(x), các điểm quan trọng bao gồm:
- Điểm (0, 1)
- Điểm (π/2, 0)
- Điểm (π, -1)
- Điểm (3π/2, 0)
- Điểm (2π, 1)
Đối với hàm số y = cos(x + π/2), đồ thị sẽ dịch chuyển sang trái một khoảng π/2 đơn vị so với đồ thị hàm số y = cos(x). Do đó, các điểm quan trọng trên đồ thị hàm số y = cos(x + π/2) bao gồm:
- Điểm (-π/2, 0)
- Điểm (0, -1)
- Điểm (π/2, 0)
- Điểm (π, 1)
- Điểm (3π/2, 0)
Vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ, ta nhận thấy đồ thị hàm số y = cos(x + π/2) là đồ thị hàm số y = cos(x) dịch chuyển sang trái một khoảng π/2 đơn vị.
Phần 2: So sánh tính chất của hai đồ thị
Hai đồ thị hàm số y = cos(x) và y = cos(x + π/2) có các tính chất sau:
- Đều là các đường cong tuần hoàn với chu kỳ 2π.
- Đều có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1.
- Đồ thị hàm số y = cos(x + π/2) là đồ thị hàm số y = cos(x) dịch chuyển sang trái một khoảng π/2 đơn vị.
Phần 3: Xác định các điểm đối xứng của đồ thị hàm số y = cos(x)
Đồ thị hàm số y = cos(x) đối xứng qua trục Oy (trục hoành) vì cos(-x) = cos(x). Ngoài ra, đồ thị hàm số y = cos(x) cũng đối xứng qua các điểm có hoành độ là kπ, với k là số nguyên.
Mở rộng và ứng dụng
Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính chất của hàm cosin và cách vẽ đồ thị hàm số lượng giác. Kiến thức này có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, như vật lý, kỹ thuật, và kinh tế. Ví dụ, trong vật lý, hàm cosin được sử dụng để mô tả các hiện tượng dao động điều hòa. Trong kỹ thuật, hàm cosin được sử dụng để phân tích tín hiệu và xử lý ảnh.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự, ví dụ:
- Vẽ đồ thị hàm số y = sin(x) và y = sin(x + π/2).
- So sánh tính chất của hai đồ thị vừa vẽ.
- Xác định các điểm đối xứng của đồ thị hàm số y = sin(x).
Kết luận
Bài 5 trang 58 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về hàm số lượng giác và kỹ năng vẽ đồ thị. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phân tích trên, học sinh có thể hiểu rõ hơn về bài tập này và áp dụng vào các bài tập tương tự.
