THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 2 trang 75 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\); b) \(\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\); c) \(\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}\); d) \(\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\); e) \(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\); g) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\).
Đề bài
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\);
b) \(\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\);
c) \(\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}\);
d) \(\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\);
e) \(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\);
g) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương, \(\lim c = c\) (c là hằng số)
Lời giải chi tiết
a) \(\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\)\( = \lim \frac{{2 - \frac{3}{n}}}{{6 + \frac{1}{n}}}\)\( = \frac{{\lim 2 - \lim \frac{3}{n}}}{{\lim 6 + \lim \frac{1}{n}}}\)\( = \frac{{2 - 0}}{{6 + 0}} = \frac{1}{3}\);
b) \(\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\)\( = \lim \frac{{\frac{3}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{n}}}\)\( = \frac{{\lim \frac{3}{n} - \lim \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\lim 1 + \lim \frac{1}{n}}}\)\( = \frac{0}{{1 + 0}} = 0\);
c) \(\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}\)\( = \lim \frac{{\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}{{2 + \frac{4}{{{n^2}}}}}\)\( = \frac{{\lim \left( {2 - \frac{1}{n}} \right)\lim \left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}{{\lim \left( {2 + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}\)\( = \frac{{2.2}}{2} = 2\);
d) \(\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\)\( = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + 1}}\)\( = \frac{{4 + \lim \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \lim \frac{3}{n}} + 1}}\)\( = \frac{4}{{1 + 1}} = 2\);
e) \(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\)\( = \lim \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)\( = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( = \lim \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + \sqrt 1 }}\)\( = \frac{1}{{\sqrt {1 + \lim \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}\)
g) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} + n}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + n} + n} \right)}}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} + n}}{n}\)\( = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}}{1}\)\( = \frac{{\sqrt {1 + \lim \frac{1}{n}} + 1}}{1} = 2\)
Bài 2 trang 75 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 2 bao gồm các câu hỏi và bài tập sau:
Để xác định ảnh của một điểm M(x0, y0) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (a, b), ta sử dụng công thức:
M'(x', y') = M(x0 + a, y0 + b)
Ví dụ: Cho điểm M(2, 3) và vectơ v = (1, -2). Ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v là M'(2 + 1, 3 - 2) = M'(3, 1).
Để xác định ảnh của một đường thẳng d qua phép quay tâm O góc α, ta cần xác định ảnh của ít nhất hai điểm thuộc d qua phép quay. Sau đó, vẽ đường thẳng đi qua hai điểm ảnh này, đó chính là ảnh của d qua phép quay.
Ví dụ: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và phép quay tâm O(0, 0) góc 90o. Chọn hai điểm A(1, 0) và B(0, 1) thuộc d. Ảnh của A qua phép quay là A'(-0, 1) và ảnh của B qua phép quay là B'(-1, 0). Đường thẳng A'B' có phương trình x - y + 1 = 0 là ảnh của d qua phép quay.
Một hình H có tâm đối xứng O nếu với mọi điểm M thuộc H, điểm M' đối xứng với M qua O cũng thuộc H.
Ví dụ: Hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
Một hình H có trục đối xứng d nếu với mọi điểm M thuộc H, điểm M' đối xứng với M qua d cũng thuộc H.
Ví dụ: Hình vuông, hình chữ nhật, tam giác cân có trục đối xứng là đường trung trực của các cạnh hoặc đường cao.
Các bài tập tổng hợp thường yêu cầu học sinh kết hợp kiến thức về các phép biến hình để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Cần phân tích kỹ đề bài, xác định đúng các phép biến hình cần sử dụng và áp dụng các công thức một cách chính xác.
Bài 2 trang 75 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hình. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
