THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 5 trang 62 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.
b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Lời giải chi tiết
a) Vì mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vì ABCD là hình vuông nên \(AD \bot DC\).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot DC\)
Do đó, \(DC \bot \left( {SAD} \right)\). Lại có: \(DC \subset \left( {SDC} \right) \) \( \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\)
Vẽ \(AM \bot SD\) tại M. Do đó, \(AM \bot \left( {SCD} \right)\). Suy ra, \(\left( {BAM} \right) \bot \left( {SCD} \right)\) hay (ABM) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
Trong mặt phẳng (SCD), kẻ MN//CD\(\left( {N \in SC} \right)\). Suy ra, MN//AB nên \(MN \subset \left( \alpha \right)\)
Khi đó, giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với:
Mặt phẳng (ABCD) là AB.
Mặt phẳng (ABS) là AB.
Mặt phẳng (SBC) là NB.
Mặt phẳng (SCD) là MN.
Mặt phẳng (ASD) là AM.
b) Ta có: MN//AB, \(AB \bot AM\left( {do\;AB \bot \left( {SAD} \right)} \right)\) nên tứ giác ABNM là hình thang vuông tại A và M.
Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên
\(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \) \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì MN//CD nên \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SM}}{{SD}} \) \( \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{\frac{{S{A^2}}}{{SD}}}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{3}{4}\)
Do đó, \(MN = \frac{3}{4}CD = \frac{3}{4}a\)
Vậy diện tích hình thang ABNM là: \(S = \frac{1}{2}AM\left( {MN + AB} \right) \) \(= \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\left( {\frac{3}{4}a + a} \right) = \frac{{7{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)
Bài 5 trang 62 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán hình học cụ thể. Việc nắm vững các tính chất và công thức liên quan đến các phép biến hình là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Bài 5 bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề bài: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến đó.
Lời giải:
Sử dụng công thức phép tịnh tiến: A'(x' ; y') = A(x; y) + v(a; b) = (x + a; y + b)
Thay số: A'(1 + 3; 2 - 1) = A'(4; 1)
Vậy, ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v là A'(4; 1).
Đề bài: Cho đường thẳng d: x + 2y - 3 = 0 và phép quay tâm O(0; 0) góc -90°. Tìm ảnh d' của đường thẳng d qua phép quay đó.
Lời giải:
Chọn hai điểm thuộc đường thẳng d, ví dụ: A(1; 1) và B(3; 0).
Tìm ảnh A' và B' của A và B qua phép quay tâm O góc -90°:
A'(1; -1) và B'(0; 3)
Phương trình đường thẳng d' đi qua A' và B' là:
(x - 1) / (0 - 1) = (y + 1) / (3 + 1)
=> (x - 1) / -1 = (y + 1) / 4
=> 4(x - 1) = - (y + 1)
=> 4x - 4 = -y - 1
=> 4x + y - 3 = 0
Vậy, ảnh d' của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc -90° là 4x + y - 3 = 0.
Phép biến hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Bài 5 trang 62 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hình. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình.
