Giải bài 4 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 4 trang 19 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4 trang 19 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \(4\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos 3x\);
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) \(4\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos 3x\);
b) \(\frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)}} = \tan \frac{x}{2}\);
c) \(\sin x\left( {1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x} \right) = \sin 7x\);
d) \(\frac{{{{\sin }^2}3x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}3x}}{{{{\cos }^2}x}} = 8\cos 2x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các công thức lượng giác:
a) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\)
b) \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ,\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\)
c) \(\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\)
d) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \), \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \), \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Lời giải chi tiết
a) \(4\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) \) \( = 2\cos x\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right)\)
\( \) \( = 2\cos x.\cos 2x + 2.\frac{{ - 1}}{2}\cos x \) \( = \cos 3x + \cos x - \cos x \) \( = \cos 3x\)
b) \(\frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)}} \) \( = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + 2{{\cos }^2}x - 1} \right)}} \) \( = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)2{{\cos }^2}x}}\)
\( \) \( = \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} \) \( = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{1 + 2{{\cos }^2}\frac{x}{2} - 1}} \) \( = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} \) \( = \tan \frac{x}{2}\)
c) \(\sin x\left( {1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x} \right)\)
\( \) \( = \sin x + 2\sin x\cos 2x + 2\sin x\cos 4x + 2\sin x\cos 6x\)
\( \) \( = \sin x + \sin 3x - \sin x + \sin 5x - \sin 3x + \sin 7x - \sin 5x\)\( \) \( = \sin 7x\)
d) \(\frac{{{{\sin }^2}3x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}3x}}{{{{\cos }^2}x}} \) \( = \frac{{{{\sin }^2}3x{{\cos }^2}x - {{\cos }^2}3x{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \) \( = \frac{{{{\left( {\sin 3x\cos x} \right)}^2} - {{\left( {\cos 3x\sin x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)
\( \) \( = \frac{{\left( {\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x} \right)\left( {\sin 3x\cos x - \cos 3x\sin x} \right)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \) \( = \frac{{\sin 4x\sin 2x}}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}\)
\( \) \( = \frac{{4\sin 4x}}{{\sin 2x}} \) \( = \frac{{8\sin 2x\cos 2x}}{{\sin 2x}} \) \( = 8\cos 2x\)
Giải bài 4 trang 19 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tổng quan
Bài 4 trang 19 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết một số thông tin nhất định.
Nội dung chi tiết bài 4
Bài 4 bao gồm các câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi tập trung vào một khía cạnh khác nhau của việc xác định phương trình parabol. Cụ thể:
- Câu a: Xác định phương trình parabol khi biết đỉnh và một điểm thuộc parabol.
- Câu b: Xác định phương trình parabol khi biết ba điểm thuộc parabol.
- Câu c: Xác định phương trình parabol khi biết trục đối xứng và một điểm thuộc parabol.
Phương pháp giải bài 4
Để giải bài 4 trang 19 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1, học sinh cần nắm vững các công thức và phương pháp sau:
- Phương trình tổng quát của parabol: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
- Phương trình chính tắc của parabol: y = a(x - h)2 + k, trong đó (h, k) là tọa độ đỉnh của parabol.
- Cách xác định hệ số a: Sử dụng tọa độ của một điểm thuộc parabol để thay vào phương trình và giải phương trình tìm a.
- Cách xác định hệ số b và c: Sử dụng các thông tin khác về parabol (ví dụ: trục đối xứng, điểm cắt trục tung) để thiết lập hệ phương trình và giải hệ phương trình tìm b và c.
Lời giải chi tiết bài 4
Câu a: Xác định phương trình parabol khi biết đỉnh và một điểm thuộc parabol
Đề bài: Xác định phương trình của parabol có đỉnh I(-1; 2) và đi qua điểm A(1; 0).
Lời giải:
Vì parabol có đỉnh I(-1; 2) nên phương trình của parabol có dạng: y = a(x + 1)2 + 2.
Thay tọa độ điểm A(1; 0) vào phương trình, ta được: 0 = a(1 + 1)2 + 2 => 0 = 4a + 2 => a = -1/2.
Vậy phương trình của parabol là: y = -1/2(x + 1)2 + 2.
Câu b: Xác định phương trình parabol khi biết ba điểm thuộc parabol
Đề bài: Xác định phương trình của parabol đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 2) và C(-1; 0).
Lời giải:
Giả sử phương trình của parabol có dạng: y = ax2 + bx + c.
Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình, ta được hệ phương trình:
- 1 = a(0)2 + b(0) + c => c = 1
- 2 = a(1)2 + b(1) + c => a + b + c = 2
- 0 = a(-1)2 + b(-1) + c => a - b + c = 0
Thay c = 1 vào hai phương trình còn lại, ta được:
- a + b = 1
- a - b = -1
Giải hệ phương trình này, ta được: a = 0 và b = 1.
Vậy phương trình của parabol là: y = x + 1.
Câu c: Xác định phương trình parabol khi biết trục đối xứng và một điểm thuộc parabol
Đề bài: Xác định phương trình của parabol có trục đối xứng x = 2 và đi qua điểm A(0; 4).
Lời giải:
Vì parabol có trục đối xứng x = 2 nên phương trình của parabol có dạng: y = a(x - 2)2 + k.
Thay tọa độ điểm A(0; 4) vào phương trình, ta được: 4 = a(0 - 2)2 + k => 4 = 4a + k.
Để xác định a và k, ta cần thêm một thông tin nữa về parabol. Nếu không có thêm thông tin, ta có vô số parabol thỏa mãn điều kiện đề bài.
Lưu ý khi giải bài 4
- Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay tọa độ các điểm đã cho vào phương trình parabol tìm được.
- Chú ý đến điều kiện a ≠ 0 để đảm bảo phương trình là phương trình của parabol.
- Nắm vững các công thức và phương pháp liên quan đến parabol để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Kết luận
Bài 4 trang 19 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về parabol và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.
