THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em nắm vững kiến thức.
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho \(HA = 2HB\).
Đề bài
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho \(HA = 2HB\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng \({90^0}\).
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
- Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b).
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí côsin vào tam giác AHC có:
\(C{H^2} \) \( = A{C^2} + A{H^2} - 2AC.AH.\cos \widehat {CAH}\)
\( \Rightarrow C{H^2} \) \( = {a^2} + {\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^2} - 2a.\frac{{2a}}{3}.\cos {60^0} \) \( = \frac{{7{a^2}}}{9} \Rightarrow CH \) \( = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}\)
Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC)
Do đó, \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) \) \( = \left( {SC,HC} \right) \) \( = \widehat {SCH} \) \( = {60^0}\)
Trong tam giác SCH vuông tại H có: \(SH \) \( = CH.\tan {60^0} \) \( = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}.\sqrt 3 \) \( = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\)
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, I là hình chiếu của H trên đường thẳng đó.
Khi đó, BC//AI. Suy ra: \(d\left( {BC,SA} \right) \) \( = d\left( {BC,\left( {SAI} \right)} \right) \) \( = d\left( {B,\left( {SAI} \right)} \right) \) \( = \frac{3}{2}d\left( {H;\left( {SAI} \right)} \right)\)
Gọi K là hình chiếu của H trên SI.
Vì \(SH \bot AI,AI \bot HI \Rightarrow AI \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AI \bot KH\)
Mà \(HK \bot SI \Rightarrow HK \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAI} \right)} \right) \) \( = HK\)
Ta có: \(\widehat {HAI} \) \( = {180^0} - \left( {{{60}^0} + {{60}^0}} \right) \) \( = {60^0}\)
Tam giác AHI vuông tại I nên \(HI \) \( = HA.\sin {60^0} \) \( = \frac{{2a}}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Tam giác SIH vuông tại H có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} \) \( = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \) \( = \frac{9}{{21{a^2}}} + \frac{9}{{3{a^2}}} \) \( = \frac{{24}}{{7{a^2}}} \Rightarrow HK \) \( = \frac{{a\sqrt {42} }}{{12}}\)
Do đó: \(d\left( {BC,SA} \right) \) \( = \frac{{a\sqrt {42} }}{8}\)
Bài 3 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 3 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải phần a, ta cần xác định ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Sử dụng công thức:
A' = A + v
Trong đó A' là ảnh của điểm A, A là tọa độ điểm A, và v là tọa độ vectơ tịnh tiến.
Để giải phần b, ta cần tìm tâm của phép quay. Tâm của phép quay là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm tương ứng.
Để giải phần c, ta cần chứng minh rằng hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d. Ta cần chứng minh rằng mọi điểm thuộc hình H đều có ảnh trên hình H' qua phép đối xứng trục d.
Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2) và vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải:
A' = A + v = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1)
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 3 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về các phép biến hình. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
