Giải bài 5 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 5 trang 20 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 5 trang 20 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x. a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
Đề bài
Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x.
a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức lượng giác để tính:
a) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\), \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\)
b) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\)
Lời giải chi tiết
a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) \) \(= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right) \) \(= {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x\)
\(= {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) \) \(= \frac{1}{4}\)
Vậy giá trị của biểu thức \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) không phụ thuộc vào giá trị của x.
b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)
\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x + \frac{{11\pi }}{{12}}} \right)} \right]\)
\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {2x + \pi - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}}\)
\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}} \) \(= \cos \frac{{7\pi }}{{12}}\)
Vậy giá trị của biểu thức \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) không phụ thuộc vào giá trị của x.
Giải bài 5 trang 20 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tổng quan
Bài 5 trang 20 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết một số thông tin nhất định.
Nội dung chi tiết bài 5
Bài 5 bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Xác định phương trình parabol khi biết đỉnh và một điểm thuộc parabol.
- Dạng 2: Xác định phương trình parabol khi biết ba điểm thuộc parabol.
- Dạng 3: Xác định phương trình parabol khi biết trục đối xứng và một điểm thuộc parabol.
Lời giải chi tiết từng bài tập
Bài 5.1
Đề bài: Xác định phương trình parabol (P) có đỉnh I(-1; 2) và đi qua điểm A(1; 0).
Lời giải:
- Phương trình tổng quát của parabol có đỉnh I(-1; 2) là: y = a(x + 1)^2 + 2.
- Thay tọa độ điểm A(1; 0) vào phương trình, ta được: 0 = a(1 + 1)^2 + 2 => 0 = 4a + 2 => a = -1/2.
- Vậy phương trình parabol (P) là: y = -1/2(x + 1)^2 + 2.
Bài 5.2
Đề bài: Xác định phương trình parabol (P) đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 2), C(-1; 0).
Lời giải:
- Giả sử phương trình parabol (P) có dạng: y = ax^2 + bx + c.
- Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình, ta được hệ phương trình:
- c = 1
- a + b + c = 2
- a - b + c = 0
- Giải hệ phương trình, ta được: a = 1/2, b = 1/2, c = 1.
- Vậy phương trình parabol (P) là: y = 1/2x^2 + 1/2x + 1.
Bài 5.3
Đề bài: Xác định phương trình parabol (P) có trục đối xứng x = -2 và đi qua điểm B(0; -1).
Lời giải:
- Phương trình tổng quát của parabol có trục đối xứng x = -2 là: y = a(x + 2)^2 + k.
- Thay tọa độ điểm B(0; -1) vào phương trình, ta được: -1 = a(0 + 2)^2 + k => -1 = 4a + k.
- Để xác định a và k, cần thêm một thông tin nữa về parabol. Nếu đề bài cho thêm một điểm thuộc parabol, ta có thể giải hệ phương trình để tìm a và k.
Lưu ý khi giải bài tập về parabol
- Nắm vững phương trình tổng quát của parabol: y = ax^2 + bx + c.
- Hiểu rõ mối liên hệ giữa các yếu tố của parabol: đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn.
- Sử dụng các công thức tính toán một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Ứng dụng của kiến thức về parabol
Kiến thức về parabol có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và kỹ thuật, như:
- Thiết kế các công trình kiến trúc có hình dạng parabol.
- Tính toán quỹ đạo của các vật thể ném lên.
- Phân tích các hiện tượng vật lý liên quan đến ánh sáng và sóng.
Kết luận
Bài 5 trang 20 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về parabol. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
