Giải bài 3 trang 39 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 3 trang 39 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 39 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để học sinh nắm vững kiến thức.
Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên (mathbb{R}).
Đề bài
Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên \(\mathbb{R}\).
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2\;khi\;x \le 2\\\frac{1}{{x + 1}}\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x > 2\end{array} \right.\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x\;khi\;x \le 1\\\frac{2}{x} + 1\;\;\;\;\;khi\;x > 1\end{array} \right.\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để xét tính liên tục và tính đạo hàm: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết
a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{3} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\) nên f(x) gián đoạn tại \(x = 2\). Do đó, f(x) không có giới hạn tại 2, không có đạo hàm tại 2.
b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{2}{x} + 1} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 2x} \right) = 3;f\left( 1 \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Do đó, hàm số f(x) liên tục tại \(x = 1\).
Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{2}{x} + 1 - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = - 2;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = 4\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
Do đó, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
Vậy không tồn tại đạo hàm tại \(x = 1\)
Giải bài 3 trang 39 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tổng quan
Bài 3 trang 39 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn, và các ứng dụng khác của đạo hàm trong toán học.
Nội dung bài tập
Bài 3 trang 39 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số: Yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, đòi hỏi việc áp dụng thành thạo các quy tắc đạo hàm.
- Tìm đạo hàm cấp hai: Tính đạo hàm bậc hai của hàm số, giúp hiểu rõ hơn về sự thay đổi của đạo hàm.
- Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế: Ví dụ như tìm vận tốc, gia tốc trong chuyển động, hoặc tìm điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết bài 3 trang 39
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng câu hỏi cụ thể. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài 3:
Câu a: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Câu b: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta có:
g'(x) = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)] / (x - 1)^2
g'(x) = (2x^2 - 2x - x^2 - 1) / (x - 1)^2
g'(x) = (x^2 - 2x - 1) / (x - 1)^2
Câu c: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số h(x) = sin(2x)
Lời giải:
Đầu tiên, tìm đạo hàm cấp một:
h'(x) = 2cos(2x)
Sau đó, tìm đạo hàm cấp hai:
h''(x) = -4sin(2x)
Các lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm
Để giải quyết các bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, học sinh cần lưu ý những điều sau:
- Nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp, đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
- Thực hành thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính đạo hàm, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách đạo hàm ngược hoặc sử dụng các công cụ tính đạo hàm trực tuyến.
- Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm: Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số, giúp hiểu rõ hơn về xu hướng và tính chất của hàm số.
Kết luận
Bài 3 trang 39 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng học sinh trên con đường chinh phục môn Toán.
