THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4 trang 34 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Giải các phương trình lượng giác sau: a) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sin x \) \( = 0\); b) \({\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\); c) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}x \) \( = 1\)
Đề bài
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sin x \) \( = 0\);
b) \({\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\);
c) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}x \) \( = 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Phương trình \(\cos x \) \( = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x \) \( = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x \) \( = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha \) \( = m\).
Đặc biệt: \(\cos u \) \( = \cos v \) \( \Leftrightarrow u \) \( = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u \) \( = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sin x \) \( = 0 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \) \( = \sin \left( { - x} \right) \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \({\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4} \) \( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{2} \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \) \( = \cos \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z}{\rm{)}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi }\\{x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}x \) \( = 1 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) \) \( = 1 - 2{\sin ^2}x \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) \) \( = \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 4 trang 34 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc tìm phương trình parabol khi biết một số yếu tố nhất định.
Bài 4 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải phần a, ta cần xác định các hệ số a, b, c của parabol. Dựa vào phương trình đã cho, ta có thể suy ra các hệ số này bằng cách so sánh với dạng tổng quát của phương trình parabol: y = ax2 + bx + c.
Ví dụ, nếu phương trình là y = 2x2 - 3x + 1, thì a = 2, b = -3, c = 1.
Để tìm tọa độ đỉnh của parabol, ta sử dụng công thức: xđỉnh = -b / (2a) và yđỉnh = f(xđỉnh). Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = xđỉnh.
Ví dụ, với phương trình y = 2x2 - 3x + 1, ta có xđỉnh = -(-3) / (2 * 2) = 3/4 và yđỉnh = 2*(3/4)2 - 3*(3/4) + 1 = -1/8. Vậy tọa độ đỉnh là (3/4, -1/8) và trục đối xứng là x = 3/4.
Khi biết đỉnh và một điểm thuộc parabol, ta có thể sử dụng công thức: y = a(x - xđỉnh)2 + yđỉnh. Thay tọa độ của điểm đã biết vào phương trình, ta sẽ tìm được giá trị của a.
Ví dụ, nếu đỉnh là (1, 2) và điểm thuộc parabol là (0, 0), ta có 0 = a(0 - 1)2 + 2, suy ra a = -2. Vậy phương trình parabol là y = -2(x - 1)2 + 2.
Khi biết ba điểm thuộc parabol, ta có thể thay tọa độ của ba điểm này vào phương trình y = ax2 + bx + c để tạo thành một hệ phương trình bậc hai. Giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được các hệ số a, b, c.
Ví dụ, nếu ba điểm là (0, 1), (1, 2), (2, 5), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta được a = 1, b = 0, c = 1. Vậy phương trình parabol là y = x2 + 1.
Bài 4 trang 34 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
