THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 1 trang 38 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho hàm số (y = sqrt[3]{x}). Chứng minh rằng (y'left( x right) = frac{1}{{3sqrt[3]{{{x^2}}}}}left( {x ne 0} right)).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\). Chứng minh rằng \(y'\left( x \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\left( {x \ne 0} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để chứng minh: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết
Với bất kì \({x_0} \ne 0\) ta có: \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y\left( x \right) - y\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}} \right]}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}} \right]}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{x_0^2}}}}\)
Vậy \(y'\left( x \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\left( {x \ne 0} \right)\)
Bài 1 trang 38 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các khái niệm và công thức đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 1 trang 38 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 1 trang 38 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2, học sinh cần:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài 1 trang 38 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2:
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 3x - 2 tại x = 1.
Lời giải:
f'(x) = 2x + 3
f'(1) = 2(1) + 3 = 5
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 1 là 5.
Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x).
Lời giải:
g'(x) = cos(x) - sin(x)
Vậy, đạo hàm của hàm số g(x) là cos(x) - sin(x).
Đề bài: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 3t2 + 2t (m/s). Tính gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây.
Lời giải:
Gia tốc a(t) là đạo hàm của vận tốc v(t).
a(t) = v'(t) = 6t + 2
a(2) = 6(2) + 2 = 14
Vậy, gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là 14 m/s2.
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần lưu ý:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 1 trang 38 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
