Giải bài 4 trang 26 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 4 trang 26 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4 trang 26 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải dễ hiểu, kèm theo giải thích chi tiết để học sinh nắm vững kiến thức.
Giải các phương trình sau:
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) \({4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 } \);
b) \({9^{5x}} = {27^{x - 2}}\);
c) \({\log _{81}}x = \frac{1}{2}\);
d) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 1} \right)\);
e) \({\log _5}\left( {x - 2} \right) + {\log _5}\left( {x + 2} \right) = 1\);
g) \({\log _x}8 = \frac{3}{4}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, b, c) Sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ cơ bản để giải phương trình:
\({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
+ Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\)
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({a^x} = {a^\alpha } \Leftrightarrow x = \alpha \), tổng quát hơn: \({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)
d, e, g) Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:
\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Lời giải chi tiết
a) \({4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 } \) \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4x}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \right)^{\frac{1}{2}}} \) \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{\frac{3}{2}}} \) \( \Leftrightarrow 4x = \frac{3}{2} \) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{8}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{3}{8}\).
b) \({9^{5x}} = {27^{x - 2}} \) \( \Leftrightarrow {3^{10x}} = {3^{3\left( {x - 2} \right)}} \) \( \Leftrightarrow 10x = 3x - 6 \) \( \Leftrightarrow 7x = - 6 \) \( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 6}}{7}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{ - 6}}{7}\)
c) Điều kiện: \(x > 0\)
\({\log _{81}}x = \frac{1}{2} \) \( \Leftrightarrow x = {81^{\frac{1}{2}}} = 9\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 9\)
d) Điều kiện: \(x > \frac{1}{4}\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 1} \right) \) \( \Leftrightarrow 3x + 1 = 4x - 1 \) \( \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).
e) Điều kiện: \(x > 2\)
\({\log _5}\left( {x - 2} \right) + {\log _5}\left( {x + 2} \right) = 1 \) \( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {\log _5}5 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 5\)
\( \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 9 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {TM} \right)\\x = - 3\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).
g) Điều kiện: \(x > 0,x \ne 1\)
\({\log _x}8 = \frac{3}{4} \) \( \Leftrightarrow 8 = {x^{\frac{3}{4}}} \) \( \Leftrightarrow {16^{\frac{3}{4}}} = {x^{\frac{3}{4}}} \) \( \Leftrightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 16\).
Giải bài 4 trang 26 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tổng quan
Bài 4 trang 26 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các hàm số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định tập xác định, tập giá trị, tính chu kỳ và vẽ đồ thị của hàm số.
Nội dung chi tiết bài 4
Bài 4 bao gồm các câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi tập trung vào một khía cạnh khác nhau của hàm số lượng giác. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần:
- Nắm vững định nghĩa và tính chất của các hàm số lượng giác: Hiểu rõ các hàm sin, cos, tan, cot được định nghĩa như thế nào, tập xác định, tập giá trị, tính chu kỳ của chúng.
- Biết cách xác định tập xác định của hàm số: Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa.
- Biết cách xác định tập giá trị của hàm số: Tập giá trị của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị mà hàm số có thể nhận được.
- Biết cách tính chu kỳ của hàm số: Chu kỳ của hàm số là giá trị nhỏ nhất T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số.
- Biết cách vẽ đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết bài 4 trang 26
Câu a: Xác định tập xác định của hàm số f(x) = 1/sin(x)
Để hàm số f(x) = 1/sin(x) có nghĩa, điều kiện là sin(x) ≠ 0. Điều này xảy ra khi x ≠ kπ, với k là số nguyên. Vậy tập xác định của hàm số là D = {x | x ≠ kπ, k ∈ Z}.
Câu b: Xác định tập giá trị của hàm số g(x) = 2cos(x) + 1
Vì -1 ≤ cos(x) ≤ 1, nên -2 ≤ 2cos(x) ≤ 2. Do đó, -1 ≤ 2cos(x) + 1 ≤ 3. Vậy tập giá trị của hàm số là [-1, 3].
Câu c: Tính chu kỳ của hàm số h(x) = sin(2x)
Chu kỳ của hàm số sin(x) là 2π. Vì h(x) = sin(2x), nên chu kỳ của h(x) là T = 2π/2 = π.
Câu d: Vẽ đồ thị của hàm số y = tan(x) trên khoảng (-π/2, π/2)
Đồ thị của hàm số y = tan(x) trên khoảng (-π/2, π/2) là một đường cong có tiệm cận đứng tại x = -π/2 và x = π/2. Đồ thị đi qua điểm gốc tọa độ (0, 0) và có tính đối xứng qua gốc tọa độ.
Mở rộng và ứng dụng
Việc hiểu rõ về hàm số lượng giác và các tính chất của chúng có ứng dụng rất lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như vật lý, kỹ thuật, kinh tế và khoa học máy tính. Ví dụ, trong vật lý, hàm sin và cos được sử dụng để mô tả các hiện tượng dao động, sóng. Trong kỹ thuật, hàm lượng giác được sử dụng để tính toán các góc, khoảng cách và độ cao. Trong kinh tế, hàm lượng giác được sử dụng để phân tích các chu kỳ kinh tế.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức về hàm số lượng giác, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
- Xác định tập xác định của hàm số f(x) = √(cos(x))
- Xác định tập giá trị của hàm số g(x) = 3sin(x) - 2
- Tính chu kỳ của hàm số h(x) = cos(3x)
- Vẽ đồ thị của hàm số y = cot(x) trên khoảng (0, π)
Kết luận
Bài 4 trang 26 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.
