Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4 trang 68 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(\sqrt {11} \). Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.
Đề bài
Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(\sqrt {11} \). Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Lời giải chi tiết
Gọi O là tâm của tam giác đều BCD. Khi đó, \(AO \bot \left( {BCD} \right)\)
Qua C kẻ đường thẳng song song với BI cắt BD tại F. Khi đó, CF//BI nên BI//(ACF)
Suy ra: \(d\left( {AC,BI} \right) = d\left( {BI,\left( {ACF} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {ACF} \right)} \right)\)
Ta có: \(BI \bot CD,CF//BI \) \( \Rightarrow CF \bot CD\)
Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt CF tại E. Ta có: \(OE//CD \) \( \Rightarrow OE\; \bot CF\)
Vì \(OE\; \bot CF,CF \bot AO\left( {do\;AO \bot \left( {BCD} \right)} \right) \) \( \Rightarrow CF \bot \left( {AOE} \right)\)
Trong (AOE), kẻ \(OH \bot AE\left( {H \in AC} \right) \) \( \Rightarrow OH \bot \left( {ACF} \right) \) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ACF} \right)} \right) = OH\)
Chứng minh được tứ giác OICE là hình chữ nhật. Suy ra \(OE = CI = \frac{{CD}}{2} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\)
Tam giác BCD đều, BI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác nên \(BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {33} }}{2} \) \( \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{\sqrt {33} }}{3}\)
Vì \(AO \bot \left( {BCD} \right) \) \( \Rightarrow AO \bot BO,AO \bot OE\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O có: \(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}\)
Tam giác AOE vuông tại O, đường cao OH có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{9}{{66}} + \frac{4}{{11}} = \frac{1}{2}\)
Do đó, \(OH = \sqrt 2 \)
Bài 4 trang 68 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn, và các ứng dụng khác của đạo hàm trong toán học.
Bài 4 trang 68 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 4 trang 68 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 hiệu quả, học sinh cần:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 4 trang 68 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2:
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^2 + 3x - 1
Lời giải:
f'(x) = 2x + 3
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x)
Lời giải:
g'(x) = cos(x) - sin(x)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số h(x) = e^x + ln(x)
Lời giải:
h'(x) = e^x + 1/x
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)(x - 2)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có:
y' = (2x)(x - 2) + (x^2 + 1)(1) = 2x^2 - 4x + x^2 + 1 = 3x^2 - 4x + 1
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, học sinh có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 4 trang 68 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và áp dụng các quy tắc đạo hàm vào giải quyết các bài toán cụ thể. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 11.
Hàm số | Đạo hàm |
---|---|
f(x) = x^n | f'(x) = nx^(n-1) |
f(x) = sin(x) | f'(x) = cos(x) |
f(x) = cos(x) | f'(x) = -sin(x) |