THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 9 trang 45 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\);
Đề bài
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\);
b) \(y = \sqrt {3x + 2} \);
c) \(y = x.{e^{2x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x và kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right)\).
+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm:
a) \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\),
b) \(\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}\)
c) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' \) \( = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)'} \) \( = \frac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{x + 2 - x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \) \( = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Do đó, \(y'' \) \( = \left( {\frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)' \) \( = {\left[ {3{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 2}}} \right]'} \) \( = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\)
b) \(y' \) \( = \left( {\sqrt {3x + 2} } \right)' \) \( = \frac{{\left( {3x + 2} \right)'}}{{2\sqrt {3x + 2} }} \) \( = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}\)
Do đó, \(y'' \) \( = {\left( {\frac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}} \right)'} \) \( = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {3x + 2} \right)'}}{{2\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^3}} }} \) \( = - \frac{9}{{4\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^3}} }}\)
c) \(y' \) \( = \left( {x.{e^{2x}}} \right)' \) \( = x'{e^{2x}} + x.\left( {{e^{2x}}} \right)' \) \( = {e^{2x}} + 2x{e^{2x}}\)
Do đó, \(y'' \) \( = {\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right)'} \) \( = {\left( {{e^{2x}}} \right)'} + 2{\left( {x{e^{2x}}} \right)'} \) \( = 2{e^{2x}} + 2\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right)\)
\( \) \( = 4{e^{2x}} + 4x{e^{2x}} \) \( = 4\left( {x + 1} \right){e^{2x}}\)
Bài 9 trang 45 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán hình học cụ thể. Việc nắm vững các tính chất và công thức liên quan đến các phép biến hình là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Bài 9 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải phần a, ta cần xác định ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Sử dụng công thức: A'(x', y') = A(x, y) + v(a, b) = (x + a, y + b). Thay các giá trị cụ thể vào công thức, ta sẽ tìm được tọa độ của điểm A'.
Phần b yêu cầu tìm tâm của phép quay biến điểm A thành điểm A'. Ta sử dụng công thức tìm tâm quay O: O là giao điểm của đường trung trực của đoạn AA' và đường thẳng vuông góc với AA' tại trung điểm của AA'.
Để chứng minh hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d, ta cần chứng minh rằng mọi điểm thuộc hình H đều có ảnh trên hình H' qua phép đối xứng trục d. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất đối xứng của hình.
Ví dụ: Cho điểm A(1, 2) và vectơ v = (3, -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải: A'(x', y') = A(x, y) + v(a, b) = (1 + 3, 2 - 1) = (4, 1). Vậy A'(4, 1).
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm thêm các bài tập trực tuyến để luyện tập.
Bài 9 trang 45 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về các phép biến hình. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này. Chúc các bạn học tốt!
