THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 1 trang 45 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {4x + 1} \) tại \(x = 2\);
b) \(f\left( x \right) = {x^4}\) tại \(x = - 1\);
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\);
d) \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để tính: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết
a) Với bất kì \({x_0} \ge \frac{{ - 1}}{4}\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt {4x + 1} - \sqrt {4{x_0} + 1} }}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 1} - \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4x + 1 - 4{x_0} - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{4}{{\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \frac{4}{{2\sqrt {4{x_0} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {4{x_0} + 1} }}\)
Suy ra: \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }}\). Do đó, \(f'\left( 2 \right) = \frac{2}{{\sqrt {4.2 + 1} }} = \frac{2}{3}\)
b) Với bất kì \({x_0}\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^4} - x_0^4}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x + {x_0}} \right) = \left( {x_0^2 + x_0^2} \right)\left( {{x_0} + {x_0}} \right) = 2x_0^2.2{x_0} = 4x_0^3\)
Do đó, \(f'\left( x \right) = 4{x^3}\). Suy ra \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} = - 4\)
c) Với bất kì \({x_0} \ne - 1\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{{x_0} + 1}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x_0} + 1 - x - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}\)
\( = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
d) Với bất kì \({x_0}\) ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + 1 - x_0^2 - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x + {x_0}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}} = \frac{{2{x_0}}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}\)
Bài 1 trang 45 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm của hàm số đơn thức, đa thức, và các hàm số cơ bản khác như hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
Bài 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 1 trang 45 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng sau:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = 3x2 + 2x - 1
Lời giải:
f'(x) = (3x2)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2
b) f(x) = sin(2x)
Lời giải:
f'(x) = (sin(2x))' = cos(2x) * (2x)' = 2cos(2x)
Ngoài bài 1 trang 45, học sinh có thể gặp các bài tập tương tự như:
Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm của hàm số giá trị tuyệt đối, đạo hàm của hàm số ẩn, và đạo hàm của hàm số lượng giác ngược.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập, sách giáo khoa, và các đề thi thử. Ngoài ra, học sinh có thể tham khảo các tài liệu học tập online, các video hướng dẫn giải bài tập, và các diễn đàn trao đổi kiến thức.
Montoan.com.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài 1 trang 45 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
