Chương V. Đại số tổ hợp

Chương V: Đại số tổ hợp - SBT Toán 10 Cánh diều: Tổng quan và Hướng dẫn học tập

Chương V trong sách bài tập Toán 10 Cánh diều tập trung vào các khái niệm cơ bản của Đại số tổ hợp, bao gồm:

Quy tắc cộng và quy tắc nhân: Đây là hai quy tắc nền tảng để đếm số lượng các kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm hoặc quá trình.
Hoán vị: Tìm hiểu về các cách sắp xếp khác nhau của một tập hợp các đối tượng, trong đó thứ tự có ý nghĩa.
Chỉnh hợp: Khám phá các cách chọn và sắp xếp một số đối tượng từ một tập hợp lớn hơn, trong đó thứ tự có ý nghĩa.
Tổ hợp: Nghiên cứu các cách chọn một số đối tượng từ một tập hợp lớn hơn, trong đó thứ tự không quan trọng.
Công thức nhị thức Newton: Tìm hiểu về cách khai triển biểu thức (a + b)^n.

1. Quy tắc cộng và Quy tắc nhân

Quy tắc cộng được sử dụng khi có nhiều cách để thực hiện một hành động, và ta muốn biết tổng số cách thực hiện. Quy tắc nhân được sử dụng khi các hành động được thực hiện liên tiếp, và số cách thực hiện mỗi hành động ảnh hưởng đến số cách thực hiện các hành động tiếp theo.

Ví dụ: Một cửa hàng có 3 loại áo và 2 loại quần. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo (gồm một áo và một quần)?

Giải: Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn là 3 * 2 = 6 cách.

2. Hoán vị

Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P(n) và được tính bằng công thức: P(n) = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P(3) = 3! = 3 * 2 * 1 = 6 cách.

3. Chỉnh hợp

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp n phần tử, trong đó thứ tự có ý nghĩa. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A(n, k) và được tính bằng công thức: A(n, k) = n! / (n - k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 3 người từ một nhóm 5 người để làm ba công việc khác nhau?

Giải: Số cách chọn là A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 5 * 4 * 3 = 60 cách.

4. Tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử, trong đó thứ tự không quan trọng. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C(n, k) và được tính bằng công thức: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 10 học sinh để tham gia một đội văn nghệ?

Giải: Số cách chọn là C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120 cách.

5. Công thức nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton cho phép khai triển biểu thức (a + b)^n thành một tổng các số hạng, mỗi số hạng có dạng C(n, k) * a^(n-k) * b^k, với k chạy từ 0 đến n.

Ví dụ: Khai triển (x + 2)^3.

Giải: (x + 2)^3 = C(3, 0) * x^3 * 2^0 + C(3, 1) * x^2 * 2^1 + C(3, 2) * x^1 * 2^2 + C(3, 3) * x^0 * 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.

Lời khuyên khi học tập: