THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 1 trang 32 thuộc Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải bài tập này nhé!
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
a) \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\)
b) \(1 + 4 + 9 + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
c) \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1.2 = \frac{{1.(1 + 1).(1 + 2)}}{3}\)
Vậy a) đúng với \(n = 1\)
Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}\)
Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3} + (k + 1)(k + 2)\\ = (k + 1)(k + 2)\left[ {\frac{k}{3} + 1} \right]\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\end{array}\)
Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)
Vậy b) đúng với \(n = 1\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)
Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = {2^1} - 1\)
Vậy c) đúng với \(n = 1\)
Giải sử c) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} = {2^k} - 1\)
Ta chứng minh c) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k} = {2^{k + 1}} - 1\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k}\\ = {2^k} - 1 + {2^k} = {2.2^k} - 1 = {2^{k + 1}} - 1\end{array}\)
Vậy c) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về các khái niệm cơ bản trong chương trình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tế, từ đó nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.
Để hiểu rõ hơn về bài tập này, chúng ta cần xem xét kỹ nội dung của nó. Bài tập thường bao gồm các câu hỏi hoặc tình huống cụ thể, yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác như:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài tập 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo:
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần phân tích đề bài một cách cẩn thận. Điều này giúp chúng ta hiểu rõ yêu cầu của bài tập và xác định được phương pháp giải phù hợp.
Sau khi phân tích đề bài, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức và công thức đã học để giải quyết bài tập. Trong quá trình giải, chúng ta cần chú ý đến việc trình bày các bước giải một cách rõ ràng và logic.
Sau khi giải xong bài tập, chúng ta cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác. Việc kiểm tra kết quả có thể được thực hiện bằng cách thay thế các giá trị đã tìm được vào các công thức hoặc định lý đã sử dụng.
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa cụ thể.
Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = 2x + 1. Tính f(2).
Lời giải:
Để tính f(2), chúng ta thay x = 2 vào hàm số y = f(x) = 2x + 1.
f(2) = 2 * 2 + 1 = 5
Khi giải bài tập 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo, các em học sinh cần lưu ý một số điều sau:
Để học tập và ôn luyện kiến thức Toán 10 hiệu quả, các em học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này.
