THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 35, 36, 37 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và dễ tiếp thu, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Có thể dự đoán rằng, với mỗi \(n \in \mathbb{N}*\), \(\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}\) Hãy chứng minh các công thức trên.
Từ các đẳng thức như
\(\begin{array}{l}C_3^0 = C_3^3 = 1,\quad C_4^1 = C_4^3 = 4,\\C_3^0 + C_3^1 = C_4^1,\quad C_4^2 + C_4^3 = C_5^3,\end{array}\)
Có thể dự đoán rằng, với mỗi \(n \in \mathbb{N}*\),
\(\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}\)
Hãy chứng minh các công thức trên.
Gợi ý: Sử dụng công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}},n \in \mathbb{N},0 \le k \le n.\)
Lời giải chi tiết:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
\(\begin{array}{l}C_n^{k - 1} + C_n^k = \frac{{n!}}{{(k - 1)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\\ = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}}\left( {k + \left( {n + 1 - k} \right)} \right)\\ = \frac{{(n + 1)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}} = C_{n + 1}^k\end{array}\)
Từ các đẳng thức như
\(\begin{array}{l}C_3^0 = C_3^3 = 1,\quad C_4^1 = C_4^3 = 4,\\C_3^0 + C_3^1 = C_4^1,\quad C_4^2 + C_4^3 = C_5^3,\end{array}\)
Có thể dự đoán rằng, với mỗi \(n \in \mathbb{N}*\),
\(\begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\quad \quad \quad (0 \le k \le n)\quad (2)\\C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\quad (1 \le k \le n)\quad (3)\end{array}\)
Hãy chứng minh các công thức trên.
Gợi ý: Sử dụng công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}},n \in \mathbb{N},0 \le k \le n.\)
Lời giải chi tiết:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
\(\begin{array}{l}C_n^{k - 1} + C_n^k = \frac{{n!}}{{(k - 1)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\\ = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}}\left( {k + \left( {n + 1 - k} \right)} \right)\\ = \frac{{(n + 1)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}} = C_{n + 1}^k\end{array}\)
Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:
a) \({(2x + 1)^6}\)
b) \({(x - y)^7}\)
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(2x + 1)^6} = {\left( {2x} \right)^6} + 6{\left( {2x} \right)^5} + 15{\left( {2x} \right)^4} + 20{\left( {2x} \right)^3} + 15{\left( {2x} \right)^2} + 6.2x + 1\\ = 64{x^6} + 192{x^5} + 240{x^4} + 160{x^3} + 60{x^2} + 12x + 1\end{array}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x + ( - y))^7} = {x^7} + 7{x^6}( - y) + 21{x^5}{( - y)^2} + 35{x^4}{( - y)^3} + 35{x^3}{( - y)^4} + 21{x^2}{( - y)^5} + 7x{( - y)^6} + {( - y)^7}\\ = {x^7} - 7{x^6}y + 21{x^5}{y^2} - 35{x^4}{y^3} + 35{x^3}{y^4} - 21{x^2}{y^5} + 7x{y^6} - {y^7}\end{array}\)
Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:
a) \({(2x + 1)^6}\)
b) \({(x - y)^7}\)
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(2x + 1)^6} = {\left( {2x} \right)^6} + 6{\left( {2x} \right)^5} + 15{\left( {2x} \right)^4} + 20{\left( {2x} \right)^3} + 15{\left( {2x} \right)^2} + 6.2x + 1\\ = 64{x^6} + 192{x^5} + 240{x^4} + 160{x^3} + 60{x^2} + 12x + 1\end{array}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x + ( - y))^7} = {x^7} + 7{x^6}( - y) + 21{x^5}{( - y)^2} + 35{x^4}{( - y)^3} + 35{x^3}{( - y)^4} + 21{x^2}{( - y)^5} + 7x{( - y)^6} + {( - y)^7}\\ = {x^7} - 7{x^6}y + 21{x^5}{y^2} - 35{x^4}{y^3} + 35{x^3}{y^4} - 21{x^2}{y^5} + 7x{y^6} - {y^7}\end{array}\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng. Đây là một phần quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức hình học nâng cao hơn. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Trang 35 tập trung vào các bài tập vận dụng kiến thức về khái niệm vectơ và các phép toán vectơ cơ bản. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:
Ví dụ, bài tập 1 yêu cầu biểu diễn các vectơ AB, CD, EF trên hình vẽ. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa vectơ và cách xác định hướng, độ dài của vectơ.
Trang 36 tiếp tục củng cố kiến thức về các phép toán vectơ, đồng thời giới thiệu một số ứng dụng đơn giản. Các bài tập trên trang này thường có độ khó cao hơn so với trang 35, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Ví dụ, bài tập 2 yêu cầu tìm vectơ tổng của hai vectơ a và b. Để giải bài tập này, học sinh cần áp dụng quy tắc cộng vectơ và thực hiện các phép toán số học một cách chính xác.
Trang 37 là phần nâng cao của mục 2, tập trung vào ứng dụng của vectơ trong hình học. Các bài tập trên trang này thường yêu cầu học sinh:
Ví dụ, bài tập 3 yêu cầu chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành. Để giải bài tập này, học sinh cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và các đẳng thức vectơ liên quan.
Để học tốt mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo, các em học sinh cần:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải bài tập mục 2 trang 35, 36, 37 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tốt!
