THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 44 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc về bản chất của bài toán.
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
b) Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({a^2} = 64,{b^2} = 36 \Rightarrow a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 \)
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) là:
\(M{F_1} = 8 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}x;M{F_2} = 8 - \frac{{\sqrt 7 }}{4}x.\)
b) Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Để độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau thì \(a + \frac{c}{a}x = a - \frac{c}{a}x\)
\( \Leftrightarrow \frac{c}{a}x = - \frac{c}{a}x \Leftrightarrow x = 0\)
Mà \(M(x,y) \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm b\)
Vậy tại các điểm \({B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) thì độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
a) Tính \({F_1}{M^2}\) và \({F_2}{M^2}\) theo \(x,y,c.\)
b) Chứng tỏ rằng \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = 4cx,\;{F_1}M - {F_2}M = 2\frac{{cx}}{a}\)
c) Tính độ dài hai đoạn \(M{F_1},M{F_2}\) theo \(a,c,x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
b) \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
Mà \({F_1}M + {F_2}M = 2a\) (do \(M \in (E)\))
\( \Rightarrow \;{F_1}M - {F_2}M = \frac{{{F_1}{M^2} - {F_2}{M^2}}}{{{F_1}M + {F_2}M}} = 2\frac{{cx}}{a}\)
c)
\(\begin{array}{l}M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).
Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cát hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của elip biểu diễn vòm xe điện ngầm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Nói cách khác tiếng nói phát ra từ một tiêu điểm bên này, khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn tới tiêu điểm bên kia với cùng một quãng đường là \(2a\).
Do đó tiếng nói vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
a) Tính \({F_1}{M^2}\) và \({F_2}{M^2}\) theo \(x,y,c.\)
b) Chứng tỏ rằng \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = 4cx,\;{F_1}M - {F_2}M = 2\frac{{cx}}{a}\)
c) Tính độ dài hai đoạn \(M{F_1},M{F_2}\) theo \(a,c,x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
b) \({F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
Mà \({F_1}M + {F_2}M = 2a\) (do \(M \in (E)\))
\( \Rightarrow \;{F_1}M - {F_2}M = \frac{{{F_1}{M^2} - {F_2}{M^2}}}{{{F_1}M + {F_2}M}} = 2\frac{{cx}}{a}\)
c)
\(\begin{array}{l}M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
b) Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({a^2} = 64,{b^2} = 36 \Rightarrow a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 \)
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) là:
\(M{F_1} = 8 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}x;M{F_2} = 8 - \frac{{\sqrt 7 }}{4}x.\)
b) Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Để độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau thì \(a + \frac{c}{a}x = a - \frac{c}{a}x\)
\( \Leftrightarrow \frac{c}{a}x = - \frac{c}{a}x \Leftrightarrow x = 0\)
Mà \(M(x,y) \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm b\)
Vậy tại các điểm \({B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) thì độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).
Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cát hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của elip biểu diễn vòm xe điện ngầm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Nói cách khác tiếng nói phát ra từ một tiêu điểm bên này, khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn tới tiêu điểm bên kia với cùng một quãng đường là \(2a\).
Do đó tiếng nói vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Mục 2 trang 44 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững kiến thức nền tảng và áp dụng các phương pháp giải phù hợp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về nội dung chính của mục 2, đồng thời hướng dẫn chi tiết cách giải các dạng bài tập thường gặp.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần xác định rõ nội dung chính mà mục 2 trang 44 đề cập đến. Thông thường, đây có thể là một định lý mới, một phương pháp giải toán mới, hoặc một ứng dụng của kiến thức đã học. Việc hiểu rõ nội dung chính sẽ giúp học sinh tiếp cận bài tập một cách chủ động và hiệu quả hơn.
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu học sinh áp dụng trực tiếp định lý hoặc quy tắc đã học để giải quyết bài toán. Để giải quyết dạng bài tập này, học sinh cần:
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức, một bất đẳng thức, hoặc một mệnh đề nào đó. Để giải quyết dạng bài tập này, học sinh cần:
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tế. Để giải quyết dạng bài tập này, học sinh cần:
Ví dụ 1: (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC.
Giải:
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
Suy ra BC = √25 = 5cm
Ví dụ 2: (Dạng 2) Chứng minh rằng nếu a > b thì -a < -b.
Giải:
Vì a > b nên a - b > 0. Nhân cả hai vế với -1, ta được -a + b < 0, hay -a < -b.
Ngoài sách giáo khoa, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập:
Giải mục 2 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng và áp dụng các phương pháp giải phù hợp. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
