Giải mục 3 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 3 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 53 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)
HĐ3
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:\(a > 0,b > 0\) và \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} > \sqrt {{a^2}} = a \Rightarrow \frac{c}{a} > 1.\)
Thực hành 3
Tìm tâm sai của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Bước 1: Xác định a, b suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Bước 2: Tính tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Ta có: \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Ta có: \(a = 3,b = 5\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {34} \)
Vậy tâm sai của \(({H_2})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Ta có: \(a = b = \sqrt 3 \), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 6 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)
Vận dụng 3
Cho hypebol (H) có tâm sai bằng \(\sqrt 2 \). Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
+ Độ dài trục thực và trục ảo: \(2a\) và \(2b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có hypebol (H) có tâm sai là \(e = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow a = b\) (do \(a > 0,b > 0\))
\( \Rightarrow 2a = 2b\) hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.
Vận dụng 4
Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là \({2.10^8}\) km.
a) Lập phương trình chính tắc của (H)
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí \(M(x;y)\) của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a.\)
Lời giải chi tiết:
a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 1,2\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a = {2.10^8}\)
\( \Rightarrow a = {10^9},c = {12.10^8} \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {44.10^{16}}\)
\( \Rightarrow \) PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{10}^{18}}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{44.10}^{16}}}} = 1\)
b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} + 1,2x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} - 1,2x} \right|\)
- HĐ3
- Thực hành 3
- Vận dụng 3
- Vận dụng 4
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:\(a > 0,b > 0\) và \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} > \sqrt {{a^2}} = a \Rightarrow \frac{c}{a} > 1.\)
Tìm tâm sai của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Bước 1: Xác định a, b suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Bước 2: Tính tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Ta có: \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Ta có: \(a = 3,b = 5\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {34} \)
Vậy tâm sai của \(({H_2})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Ta có: \(a = b = \sqrt 3 \), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 6 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)
Cho hypebol (H) có tâm sai bằng \(\sqrt 2 \). Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
+ Độ dài trục thực và trục ảo: \(2a\) và \(2b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có hypebol (H) có tâm sai là \(e = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow a = b\) (do \(a > 0,b > 0\))
\( \Rightarrow 2a = 2b\) hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.
Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là \({2.10^8}\) km.
a) Lập phương trình chính tắc của (H)
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí \(M(x;y)\) của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a.\)
Lời giải chi tiết:
a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 1,2\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a = {2.10^8}\)
\( \Rightarrow a = {10^9},c = {12.10^8} \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {44.10^{16}}\)
\( \Rightarrow \) PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{10}^{18}}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{44.10}^{16}}}} = 1\)
b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} + 1,2x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} - 1,2x} \right|\)
Giải mục 3 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Mục 3 trang 53 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp đã được học trước đó. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để tìm ra lời giải chính xác.
Nội dung chi tiết mục 3 trang 53
Để cung cấp một giải pháp toàn diện, chúng ta cần phân tích từng bài tập cụ thể trong mục 3 trang 53. Dưới đây là phân tích chi tiết và lời giải cho từng bài tập:
Bài tập 1: (Ví dụ cụ thể về bài tập 1)
Đề bài: (Nêu rõ đề bài của bài tập 1)
Lời giải: (Giải thích chi tiết từng bước giải bài tập 1, kèm theo các công thức và định lý liên quan. Sử dụng các ví dụ minh họa nếu cần thiết.)
Bài tập 2: (Ví dụ cụ thể về bài tập 2)
Đề bài: (Nêu rõ đề bài của bài tập 2)
Lời giải: (Giải thích chi tiết từng bước giải bài tập 2, kèm theo các công thức và định lý liên quan. Sử dụng các ví dụ minh họa nếu cần thiết.)
Bài tập 3: (Ví dụ cụ thể về bài tập 3)
Đề bài: (Nêu rõ đề bài của bài tập 3)
Lời giải: (Giải thích chi tiết từng bước giải bài tập 3, kèm theo các công thức và định lý liên quan. Sử dụng các ví dụ minh họa nếu cần thiết.)
Các kiến thức liên quan cần nắm vững
Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục 3 trang 53, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Khái niệm: (Liệt kê các khái niệm quan trọng liên quan đến chủ đề của mục 3)
- Định lý: (Liệt kê các định lý quan trọng liên quan đến chủ đề của mục 3)
- Công thức: (Liệt kê các công thức quan trọng liên quan đến chủ đề của mục 3)
- Phương pháp: (Liệt kê các phương pháp giải bài tập thường được sử dụng trong chủ đề của mục 3)
Mẹo giải bài tập hiệu quả
Dưới đây là một số mẹo giúp học sinh giải bài tập Toán 10 hiệu quả hơn:
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
- Phân tích đề bài và tìm ra các thông tin quan trọng.
- Lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
- Thực hiện các phép tính một cách cẩn thận và chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng nó phù hợp với yêu cầu của bài toán.
Ứng dụng thực tế của kiến thức
Kiến thức được học trong mục 3 trang 53 có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, ví dụ như:
- Trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật: (Giải thích ứng dụng của kiến thức trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật)
- Trong đời sống hàng ngày: (Giải thích ứng dụng của kiến thức trong đời sống hàng ngày)
Bài tập luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tham khảo các bài tập sau:
| STT | Bài tập | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | (Đề bài bài tập luyện tập 1) | (Đáp án bài tập luyện tập 1) |
| 2 | (Đề bài bài tập luyện tập 2) | (Đáp án bài tập luyện tập 2) |
Kết luận
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
