THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 1.3 trang 14 thuộc Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 10 hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
Đề bài
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 2\\x + y = 3\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - z = 2\\x + 2y + z = 5\\ - x + y = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
e) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 7z = 2\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
f) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\5x - y - 2z = 3\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứng của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y - z = 2\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -1 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 5y = - 5\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 3 - z = - 4\) hay \(z = 1\)
Cuối cùng ta có: \(x + 1 = 3\) hay \(x = 2\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {2;1;1} \right).\)
b) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\x + 2y + z = 5\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\2y - z = 8\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\5y = 15\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 3\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \(9 + z = 7\) hay \(z = - 2\)
Cuối cùng ta có: \( - x + 3 = 2\) hay \(x = 1\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {1;3; - 2} \right).\)
c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương dạng hình thang
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{18 - 5y}}{4}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(x - 3y - \frac{{18 - 5y}}{4} = - 6 \Leftrightarrow x = \frac{{12y + 18 - 5y}}{4} - 6 = \frac{{7y - 6}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{7y - 6}}{4};y;\frac{{18 - 5y}}{4}} \right\}\)
d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 27\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình cuối, suy ra 18 = 27, điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm
e)
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - y + 31z = 23\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 2y = - 2\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 - 31z = - 25\) hay \(z = \frac{{24}}{{31}}\)
Cuối cùng ta có: \(x + 8.\frac{{24}}{{31}} = 9\) hay \(x = \frac{{87}}{{31}}\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{{87}}{{31}};1;\frac{{24}}{{31}}} \right).\)
f) Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -7 rồi cộng với 2 lần phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\13y + 16z = 16\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{16 - 13y}}{{16}}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được
\(2x - 3y - 4.\frac{{16 - 13y}}{{16}} = - 2 \Leftrightarrow 2x = 3y + \frac{{16 - 13y}}{4} - 2 = \frac{{8 - y}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{8 - y}}{4};y;\frac{{16 - 13y}}{{16}}} \right\}\)
Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Bài 1.3 yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài tập.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3}. Hãy xác định tất cả các tập hợp con của A.
Lời giải:
Các tập hợp con của A là: {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {3, 4, 5}. Hãy tìm tập hợp A ∪ B.
Lời giải:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {3, 4, 5}. Hãy tìm tập hợp A ∩ B.
Lời giải:
A ∩ B = {3}.
Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {3, 4, 5}. Hãy tìm tập hợp A \ B.
Lời giải:
A \ B = {1, 2}.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3} và tập hợp vũ trụ U = {1, 2, 3, 4, 5}. Hãy tìm tập hợp Ac.
Lời giải:
Ac = {4, 5}.
Để củng cố kiến thức về tập hợp và các phép toán trên tập hợp, các em có thể tự giải các bài tập sau:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 1.3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
