THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 3.9 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải bài tập và áp dụng vào các bài toán tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:
a) (H) có nửa khung thực tế bằng 4, tiêu cự bằng 10.
b) (H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} \), một đường tiệm cận là \(y = \frac{2}{3}x\).
c) (H) có tâm sai bằng \(e = \sqrt 5 \), và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
PTCT của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Độ dài nửa trục bằng a.
+ Tiêu cự bằng \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
+ Hai đường tiệm cận \(y = \pm \frac{b}{a}x\).
+ Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\).
Lời giải chi tiết
a)
+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).
+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}} = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)
⇒PTCT của hypebol
\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)
b)
+ Tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)
+ Ta có: \(2\sqrt {13} = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)
Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)
⇒PTCT của hypebol
\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
c,
+ Tâm sai của hypebol:\(e = \frac{c}{a} = \sqrt 5 \Leftrightarrow c = a\sqrt 5 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{a^2} \Rightarrow {b^2} = 4{a^2}\)(1).
+ Hypebol đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\)nên ta có: \(\frac{{{{(\sqrt {10} )}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (2).
Thay (1) vào (2) ta có:
\(\frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{9}{{{a^2}}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2.\)
⇒PTCT của hypebol
\(\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).
+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}} = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)
⇒PTCT của hypebol: \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)
b)
+ Tiêu cự bằng\(2\sqrt {13} = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)
+ Ta có:\(2\sqrt {13} = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)
Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)
⇒PTCT của hypebol: \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
c,
Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết một bài toán cụ thể.
Bài tập 3.9 thường xoay quanh việc chứng minh đẳng thức vectơ, tìm tọa độ của một điểm hoặc vectơ, hoặc xác định mối quan hệ giữa các vectơ trong một hình học nhất định. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để giải bài tập 3.9 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống một cách hiệu quả, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2.
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có overrightarrow{BM} =overrightarrow{MC}. Do đó, overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM} =overrightarrow{AB} + (1/2)overrightarrow{BC} =overrightarrow{AB} + (1/2)(overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB}) = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, học sinh có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các bài giảng trực tuyến hoặc tham gia các khóa học luyện thi để được hướng dẫn chi tiết hơn.
Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán vectơ. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, áp dụng các phương pháp giải phù hợp và luyện tập thường xuyên, các em sẽ có thể giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.
