THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 26, 27 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em dễ dàng theo dõi và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
\(1 = {1^2}\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)
……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}.\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Xét đa thức \(p(n) = {n^2} - n + 41.\)
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) \(p(1) = {1^2} - 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố
\(p(2) = {2^2} - 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố
\(p(3) = {3^2} - 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố
\(p(4) = {4^2} - 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố
\(p(5) = {5^2} - 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức
\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
\(1 = {1^2}\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)
……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).\)
Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}.\)
Xét đa thức \(p(n) = {n^2} - n + 41.\)
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) \(p(1) = {1^2} - 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố
\(p(2) = {2^2} - 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố
\(p(3) = {3^2} - 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố
\(p(4) = {4^2} - 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố
\(p(5) = {5^2} - 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức
\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Mục 1 trang 26, 27 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về vectơ. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với các khái niệm cơ bản như định nghĩa vectơ, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), và các tính chất của các phép toán này. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Để giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung này, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 1 trang 26, 27.
Bài tập này yêu cầu các em xác định các vectơ trong hình vẽ cho trước. Để làm được bài này, các em cần nắm vững định nghĩa vectơ và cách biểu diễn vectơ trên hình vẽ. Ví dụ, nếu có hai điểm A và B, vectơ AB được biểu diễn bằng một mũi tên có điểm đầu là A và điểm cuối là B.
Bài tập này yêu cầu các em thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số thực. Để làm được bài này, các em cần nắm vững các quy tắc thực hiện các phép toán này. Ví dụ, để cộng hai vectơ a và b, các em có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
Bài tập này yêu cầu các em chứng minh một đẳng thức vectơ nào đó. Để làm được bài này, các em cần sử dụng các tính chất của các phép toán trên vectơ và các quy tắc biến đổi vectơ. Ví dụ, để chứng minh đẳng thức a + b = b + a, các em có thể sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng vectơ.
Để giải các bài tập về vectơ một cách hiệu quả, các em có thể áp dụng một số phương pháp sau:
Vectơ không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế. Ví dụ, vectơ được sử dụng để mô tả vận tốc, gia tốc, lực, và các đại lượng vật lý khác. Ngoài ra, vectơ còn được sử dụng trong các lĩnh vực như đồ họa máy tính, vật lý, kỹ thuật, và kinh tế.
Để củng cố kiến thức về vectơ, các em có thể luyện tập thêm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, và các trang web học toán online. Montoan.com.vn cung cấp một kho bài tập phong phú và đa dạng, giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ nắm vững kiến thức về vectơ và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các em học tập tốt!
