Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc- cạnh - góc (g.c.g)

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Góc - Cạnh - Góc (G.C.G)

Trong hình học, việc chứng minh hai tam giác bằng nhau là một kỹ năng quan trọng. Có nhiều cách để chứng minh điều này, và một trong số đó là sử dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác, hay còn gọi là trường hợp góc - cạnh - góc (G.C.G).

1. Phát biểu trường hợp bằng nhau G.C.G

Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau nếu và chỉ nếu:

• ∠A = ∠A'
• AB = A'B'
• ∠B = ∠B'

Nói cách khác, nếu hai tam giác có hai góc bằng nhau và cạnh xen giữa hai góc đó bằng nhau, thì hai tam giác đó bằng nhau.

2. Chứng minh trường hợp bằng nhau G.C.G

Chứng minh trường hợp bằng nhau G.C.G dựa trên việc sử dụng tính chất của tam giác và các phép biến hình. Cụ thể, ta có thể chứng minh như sau:

Giả sử hai tam giác ABC và A'B'C' thỏa mãn ∠A = ∠A', AB = A'B', và ∠B = ∠B'. Ta sẽ chứng minh ΔABC = ΔA'B'C'.

1. Xét ΔABC và ΔA'B'C'.
2. ∠A = ∠A' (giả thiết)
3. AB = A'B' (giả thiết)
4. ∠B = ∠B' (giả thiết)
5. Suy ra ΔABC = ΔA'B'C' (trường hợp bằng nhau G.C.G)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có ∠A = ∠D = 60°, AB = DE = 5cm, và ∠B = ∠E = 80°. Chứng minh rằng ΔABC = ΔDEF.

Giải:

Xét ΔABC và ΔDEF, ta có:

• ∠A = ∠D (giả thiết)
• AB = DE (giả thiết)
• ∠B = ∠E (giả thiết)

Vậy ΔABC = ΔDEF (trường hợp bằng nhau G.C.G).

Ví dụ 2: Cho hình vẽ, biết AB = CD, ∠BAC = ∠DCA. Chứng minh rằng ΔABC = ΔCDA.

(Hình vẽ minh họa với AB = CD, ∠BAC = ∠DCA, AC là cạnh chung)

Giải:

Xét ΔABC và ΔCDA, ta có:

• AB = CD (giả thiết)
• ∠BAC = ∠DCA (giả thiết)
• AC là cạnh chung

Vậy ΔABC = ΔCDA (trường hợp bằng nhau G.C.G).

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác MNP và tam giác QRS có ∠M = ∠Q = 70°, MN = QR = 4cm, và ∠N = ∠R = 50°. Chứng minh rằng ΔMNP = ΔQRS.

Bài 2: Cho hình vẽ, biết AE = BE, ∠EAC = ∠EBC. Chứng minh rằng ΔAEC = ΔBEC.

(Hình vẽ minh họa với AE = BE, ∠EAC = ∠EBC, EC là cạnh chung)

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng trường hợp bằng nhau G.C.G, cần đảm bảo rằng góc và cạnh được xét phải là các yếu tố tương ứng của hai tam giác. Ví dụ, nếu ∠A = ∠A' và AB = A'B', thì góc B phải bằng góc B' chứ không phải góc C'.

6. Ứng dụng của trường hợp bằng nhau G.C.G

Trường hợp bằng nhau G.C.G được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là trong việc chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, hoặc các đường thẳng song song, vuông góc.

7. Mở rộng kiến thức

Ngoài trường hợp bằng nhau G.C.G, còn có các trường hợp bằng nhau khác của tam giác như cạnh - cạnh - cạnh (C.C.C), cạnh - góc - cạnh (C.G.C), và góc - cạnh - góc (G.C.G). Việc nắm vững tất cả các trường hợp bằng nhau này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (G.C.G). Chúc bạn học tập tốt!