THCS
THCS
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các kiến thức nền tảng, các ví dụ minh họa và các bài tập thực hành để bạn có thể tự tin vận dụng kiến thức vào giải toán.
Montoan.com.vn cung cấp các bài giảng toán học online chất lượng cao, giúp bạn học toán một cách hiệu quả và thú vị.
Có thể áp dụng các trường hợp đồng dạng nào của tam giác vào tam giác vuông? Trường hợp hai cạnh góc vuông là gì? Trường hợp góc – góc trong tam giác vuông là gì?
1. Lý thuyết
- Trường hợp hai cạnh góc vuông:
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
- Trường hợp góc – góc:
Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ${ABC}$ vuông tại ${A}$ có ${AB = 1}$ cm, ${AC = 3}$ cm. Trên cạnh ${AC}$ lấy ${D}$, ${E}$ sao cho ${AD = DE = EC}$. Chứng minh
a) $\Delta DBE\backsim \Delta DCB$; b) $\widehat{AEB}+\widehat{ACB}={{45}^{0}}$.
Lời giải.
a) Tính được ${DB^2 = 2}$, từ đó ta có
$D{{B}^{2}}=DE\cdot DC\Rightarrow \frac{DB}{DE}=\frac{DC}{DB}\Rightarrow \Delta DBE\backsim \Delta DCB$ (c.g.c).
b) Từ câu a), ta có
$\widehat{AEB}=\widehat{DBC}\text{ }\Rightarrow \widehat{AEB}+\widehat{ACB}=\widehat{DBC}+\widehat{ACB}=\widehat{ADB}={{45}^{0}}$.
Ví dụ 2: Cho tam giác ${ABC}$ vuông tại ${A}$, đường cao ${AH}$. Tia phân giác của ${\widehat{B}}$ cắt ${AH}$, ${AC}$ lần lượt tại ${D}$, ${E}$.
a) Chứng minh $\Delta BAD\backsim \Delta BCE$ và \(\Delta BHD\backsim \Delta BAE\).
b) Chứng minh ${\frac{DH}{DA}=\frac{EA}{EC}}$.
Lời giải
a) Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BCE$ có ${\widehat{ABD}=\widehat{EBC}}$ và ${\widehat{BAD}=\widehat{ECB}}$ (góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc) $\Rightarrow \Delta BAD\backsim \Delta BCE$ (g.g).
Xét $\Delta BHD$ và $\Delta BAE$ có $\widehat{BHD}=\widehat{BAE}={{90}^{0}}$
và $\widehat{HBD}=\widehat{ABE}\Rightarrow \Delta BAD\backsim \Delta BCE$ (g.g).
b) Từ kết quả câu a), ta có ${\frac{DH}{EA}=\frac{BD}{BE}=\frac{DA}{CE} \Rightarrow \frac{DH}{DA}=\frac{EA}{EC}}$.
Trong hình học, hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng hình dạng nhưng kích thước có thể khác nhau. Điều này có nghĩa là các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Tam giác vuông là một loại tam giác đặc biệt có một góc vuông (90 độ).
Có ba trường hợp đồng dạng tam giác thường được sử dụng:
Khi làm việc với tam giác vuông, việc áp dụng các trường hợp đồng dạng trở nên đặc biệt quan trọng. Dưới đây là một số cách áp dụng:
Nếu một tam giác vuông có hai góc bằng hai góc của một tam giác vuông khác, thì hai tam giác đó đồng dạng. Ví dụ, xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEF vuông tại D. Nếu góc B bằng góc E, thì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.
Nếu một tam giác vuông có hai cạnh tương ứng tỉ lệ và góc xen giữa hai cạnh đó bằng góc xen giữa hai cạnh tương ứng của tam giác vuông khác, thì hai tam giác đó đồng dạng. Ví dụ, xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEF vuông tại D. Nếu AB/DE = AC/DF và góc A bằng góc D, thì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.
Nếu một tam giác vuông có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của một tam giác vuông khác, thì hai tam giác đó đồng dạng. Ví dụ, xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEF vuông tại D. Nếu AB/DE = AC/DF = BC/EF, thì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.
Việc chứng minh tam giác vuông đồng dạng có nhiều ứng dụng trong việc giải toán:
Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi D là điểm trên BC sao cho BD = 1cm. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác ABC.
Giải:
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi D là điểm trên AC sao cho AD = 2cm. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACB.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACB.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5cm, AC = 12cm. Tính độ dài đường cao AH.
Việc nắm vững các trường hợp đồng dạng của tam giác và cách áp dụng chúng vào tam giác vuông là rất quan trọng trong học toán. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan.
