Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Hình thang cân là một loại hình thang đặc biệt, có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau. Việc nhận biết một hình thang cân là bước quan trọng để áp dụng các tính chất và giải quyết các bài toán liên quan. Dưới đây là các dấu hiệu nhận biết hình thang cân thường gặp:

1. Dấu hiệu 1: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

Nếu một hình thang ABCD có AB // CD và ∠A = ∠B thì ABCD là hình thang cân.

Chứng minh:

1. Kẻ đường cao AH và BK xuống CD (H, K thuộc CD).
2. Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
• ∠A = ∠B (giả thiết)
• AD = BC (tính chất hình thang cân)
• ∠D = ∠C (tính chất hình thang)
3. Suy ra ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền - góc nhọn).
4. Do đó, DH = KC.
5. Vậy, AB = CD - DH - KC = CD - 2DH.
6. Suy ra, AD = BC.

2. Dấu hiệu 2: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau

Nếu một hình thang ABCD có AB // CD và AC = BD thì ABCD là hình thang cân.

Chứng minh:

1. Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:
• AC = BD (giả thiết)
• CD chung
• ∠ACD = ∠BDC (so le trong do AB // CD)
2. Suy ra ΔADC = ΔBCD (cạnh - góc - cạnh).
3. Do đó, AD = BC.

3. Dấu hiệu 3: Hình thang có góc ở đáy bằng nhau

Nếu một hình thang ABCD có AB // CD và ∠D = ∠C thì ABCD là hình thang cân.

Chứng minh:

1. Kẻ đường cao AH và BK xuống CD (H, K thuộc CD).
2. Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
• ∠D = ∠C (giả thiết)
• AD = BC (tính chất hình thang cân)
3. Suy ra ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền - góc nhọn).
4. Do đó, DH = KC.
5. Vậy, AB = CD - DH - KC = CD - 2DH.
6. Suy ra, AD = BC.

Ứng dụng của các dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Các dấu hiệu nhận biết hình thang cân giúp chúng ta:

• Xác định một hình thang có phải là hình thang cân hay không.
• Chứng minh một hình thang là hình thang cân.
• Giải các bài toán liên quan đến hình thang cân.

Ví dụ minh họa

Cho hình thang ABCD có AB // CD, ∠A = 70° và ∠B = 110°. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Giải:

Ta có ∠A + ∠D = 180° (hai góc kề một bên của đường thẳng song song) => ∠D = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°.

Tương tự, ∠B + ∠C = 180° => ∠C = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°.

Vậy ∠A = ∠B và ∠D = ∠C. Do đó, ABCD là hình thang cân (dấu hiệu 1).

Bài tập luyện tập

1. Cho hình thang ABCD có AB // CD và AC = BD. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
2. Cho hình thang ABCD có AB // CD và ∠D = ∠C. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
3. Cho hình thang ABCD có AB // CD, ∠A = 60° và ∠B = 120°. ABCD có phải là hình thang cân không?

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về dấu hiệu nhận biết hình thang cân. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán hình học nhé!