1. Môn Toán
  2. Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán tại montoan.com.vn

Chào mừng các em học sinh đến với Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán. Đây là một trong những đề thi thử quan trọng, được thiết kế để giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi chính thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Đề thi này bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ đại số đến hình học, giúp các em ôn tập toàn diện kiến thức đã học trong chương trình THCS. Chúng tôi cung cấp cả đề thi và đáp án chi tiết, giúp các em tự đánh giá năng lực và tìm ra những điểm cần cải thiện.

Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 12 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: \(P = 3\sqrt 5 + \sqrt {20} .\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\x - y = 2\end{array} \right..\)

c) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = x + m\) đi qua điểm \(A\left( {0;\;3} \right).\)

Câu 2 (2 điểm)

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left( 1 \right),\) (x là ẩn số và m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 8.\)

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi \(m.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0.\)

Câu 3 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 1 cm và tăng chiều rộng thêm 2 cm thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng thêm 25 cm2.

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

b) KA là tia phân giác của góc MKN.

c) \(A{N^2} = AK.AH\)

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \(a + b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{25}}{{ab}} + ab\)

Lời giải chi tiết

Câu 1:

a) Rút gọn biểu thức: \(P = 3\sqrt 5 + \sqrt {20} .\)

\(P = 3\sqrt 5 + \sqrt {20} = 3\sqrt 5 + \sqrt {{2^2}.5} \)\(\,= 3\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 5\sqrt 5 .\)

Vậy \(P = 5\sqrt 5 .\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\x - y = 2\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 3\\x = y + 2\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;1} \right).\)

c) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = x + m\) đi qua điểm \(A\left( {0;\;3} \right).\)

Đồ thị hàm số \(y = x + m\)đi qua điểm \(A\left( {0;\;3} \right)\) nên ta có:

\(3 = 0 + m \Leftrightarrow m = 3.\)

Vậy \(m = 3\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 2:

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left( 1 \right),\) (x là ẩn số và m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 8.\)

Thay \(m = 8\) vào phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 8 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 4 = 0.\end{array}\)

Có: \(\Delta ' = {4^2} - 4 = 12 > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 4 + 2\sqrt 3 \\{x_2} = 4 - 2\sqrt 3 \end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 8\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {4 - 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 3 } \right\}.\)

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi \(m.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0.\)

\({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left( 1 \right),\)

Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 4} \right) = {m^2} - 4m + 16 \)\(\,= {\left( {m - 2} \right)^2} + 12 > 0\;\;\forall m.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 25{x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\ \Leftrightarrow 25\left( {m - 4} \right) - 5m + 1 < 0\\ \Leftrightarrow 20m < 99\\ \Leftrightarrow m < \dfrac{{99}}{{20}} = 4,95.\end{array}\)

Vậy \(m \in {Z^ + }\) thỏa mãn bài toán là: \(m \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;4} \right\}.\)

Câu 3:

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 1 cm và tăng chiều rộng thêm 2 cm thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng thêm 25 cm2.

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \(x\;\left( {cm} \right),\) chiều rộng của hình chữ nhật là \(y\left( {cm} \right),\;\;\left( {0 < y < x < 14} \right).\)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \(x + y = 28:2 \Leftrightarrow x + y = 14\;\;\;\;\left( 1 \right).\)

Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là: \(xy\;\;\left( {c{m^2}} \right).\)

Chiều dài mới của hình chữ nhật sau khi tăng thêm \(1\;cm\) là \(x + 1\;\;\left( {cm} \right).\) 

Chiều rộng mới của hình chữ nhật sau khi tăng thêm \(2\;cm\) là \(y + 2\;\;\left( {cm} \right).\)

Diện tích của hình chữ nhật sau khi tăng chiều dài và chiều rộng là: \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 2x + y + 2\)\(\;\;\left( {c{m^2}} \right).\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(xy + 2x + y + 2 = xy + 25 \)\(\,\Leftrightarrow 2x + y = 23\;\;\;\left( 2 \right).\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 14\\2x + y = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 14 - x\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = 5\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là \(9\;cm,\) chiều rộng là \(5\;cm.\)

Câu 4.

Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán 1

a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

Ta có : \(\widehat {AMO} = {90^o}\) (Do AM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M)

Ta có \(\widehat {AMO} = \widehat {AKO} = {90^0}\) (gt) \( \Rightarrow \) Tứ giác AMKO có hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới 1 góc 900

\( \Rightarrow \) Tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) KA là tia phân giác của góc MKN.

Ta có : \(\widehat {ANO} = {90^o}\) (Do AN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại N)

Xét tứ giác ANOK có \(\widehat {ANO} + \widehat {AKO} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác ANOK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)

Tứ giác AMKO nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {AOM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Tứ giác ANOK nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {AKN} = \widehat {AON}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mà \(\widehat {AOM} = \widehat {AON}\) (tính chất hai tiếp tuyến AM và AN cắt nhau tại A).

\( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {AKN}\)

\(\Rightarrow KA\) là phân giác của góc MKN.

c) \(A{N^2} = AK.AH\)

Ta có \(AM = AN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow A\) thuộc trung trực của MN.

\(OM = ON\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của MN.

\( \Rightarrow OA\) là trung trực của MN \( \Rightarrow OA \bot MN\).

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AOM}\) (cùng phụ với góc OAM).

Mà \(\widehat {AKM} = \widehat {AOM}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {AMN} = \widehat {AMH}\)

Xét tam giác AMH và tam giác AKM có :

\(\widehat {MAK}\) chung ;

\(\widehat {AKM} = \widehat {AMH}\,\,\left( {cmt} \right)\) ;

\( \Rightarrow \Delta AMH \sim \Delta AKM\,\,\left( {g.g} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AH}} = \dfrac{{AK}}{{AM}}\)

\(\Rightarrow A{M^2} = AH.AK\)

Mà \(AM = AN\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\Rightarrow A{N^2} = AH.AK\)

Câu 5.

Cách giải :

Áp dụng BĐT : \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow \dfrac{{a + b}}{{ab}} \ge \dfrac{4}{{a + b}} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{25}}{{ab}} + ab\\S = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{{49}}{{2ab}} + ab\\S \ge \dfrac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} + \dfrac{{49}}{{2ab}} + ab\\S \ge \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \dfrac{{17}}{{2ab}} + \dfrac{{16}}{{ab}} + ab\end{array}\)

Ta có \(2\sqrt {ab} \le a + b\)

\(\Leftrightarrow ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \le 4\)

\(\Rightarrow \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow S \ge \dfrac{1}{4} + \dfrac{{17}}{{2.4}} + 2\sqrt {\dfrac{{16}}{{ab}}.ab} = \dfrac{{83}}{8}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\a = b\\ab = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\).

Vậy \({S_{\min }} = \dfrac{{83}}{8}\), đạt tại \(a = b = 2\).

Bạn đang khám phá nội dung Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán trong chuyên mục giải bài tập toán lớp 9 trên nền tảng toán học. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học cơ sở này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 9 cho học sinh, đặc biệt là chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.
Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
Facebook: MÔN TOÁN
Email: montoanmath@gmail.com

Bài viết liên quan

Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải

Đề số 12 là một đề thi thử quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đề thi này thường bao gồm các dạng bài tập thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của môn Toán, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích chi tiết đề thi số 12, đồng thời cung cấp hướng dẫn giải các bài tập một cách dễ hiểu và hiệu quả.

Cấu trúc đề thi và các dạng bài tập thường gặp

Đề thi vào lớp 10 môn Toán thường được chia thành các phần chính sau:

  • Phần Đại số: Bao gồm các bài tập về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hàm số, và các bài toán liên quan đến số thực.
  • Phần Hình học: Bao gồm các bài tập về tam giác, tứ giác, đường tròn, và các bài toán liên quan đến diện tích, thể tích.
  • Phần Số học: Bao gồm các bài tập về số nguyên tố, ước số, bội số, và các bài toán liên quan đến tính chia hết.

Đề số 12 thường tập trung vào các dạng bài tập cơ bản, nhưng cũng có thể xuất hiện một số bài tập nâng cao để phân loại học sinh. Do đó, việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là rất quan trọng.

Hướng dẫn giải một số bài tập tiêu biểu trong đề số 12

Bài tập 1: Giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0. Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp phân tích thành nhân tử. Ví dụ:

Giải phương trình x2 - 5x + 6 = 0

Ta có thể phân tích thành nhân tử như sau: (x - 2)(x - 3) = 0

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

Bài tập 2: Tính diện tích tam giác

Diện tích tam giác có thể được tính bằng công thức S = (1/2) * đáy * chiều cao. Hoặc, nếu biết độ dài ba cạnh của tam giác, chúng ta có thể sử dụng công thức Heron.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, và AC = 5cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Vì 32 + 42 = 52, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B. Do đó, diện tích tam giác ABC là S = (1/2) * AB * BC = (1/2) * 3 * 4 = 6cm2.

Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức đại số

Để chứng minh đẳng thức đại số, chúng ta cần biến đổi một vế của đẳng thức để nó tương đương với vế còn lại. Ví dụ:

Chứng minh rằng (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Lời khuyên khi làm bài thi vào lớp 10 môn Toán

  • Đọc kỹ đề bài: Trước khi bắt đầu giải bài, hãy đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu và các điều kiện đã cho.
  • Lập kế hoạch giải bài: Xác định các bước cần thực hiện để giải bài và sắp xếp chúng theo thứ tự hợp lý.
  • Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong bài, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
  • Quản lý thời gian: Phân bổ thời gian hợp lý cho từng bài để đảm bảo hoàn thành bài thi trong thời gian quy định.

Tài liệu ôn thi và luyện tập

Ngoài đề số 12, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn thi và luyện tập khác tại montoan.com.vn, bao gồm:

  • Các đề thi thử vào lớp 10 môn Toán của các năm trước.
  • Các bài giảng và video hướng dẫn giải toán.
  • Các bài tập trắc nghiệm và tự luận.

Kết luận

Đề số 12 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một công cụ hữu ích để giúp các em học sinh ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng rằng, với những phân tích và hướng dẫn giải chi tiết trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi bước vào kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 9

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 9