THCS
THCS
montoan.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm 2021. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này bao gồm đề thi chính thức và các đề thi thử được chọn lọc kỹ lưỡng, đảm bảo tính sát đề và độ khó phù hợp. Các em có thể sử dụng để tự luyện tập tại nhà hoặc kết hợp với các khóa học online tại montoan.com.vn để đạt kết quả tốt nhất.
Câu 1 (2,5 điểm): a) Tính
Câu 1 (2,5 điểm):
a) Tính \(A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \)
b) Xác định các hệ số \(a,\,\,b\) của đường thẳng \(y = ax + b\), biết đường thẳng này đi qua điểm \(M\left( {1;9} \right)\) và song song với đường thẳng \(y = 3x\).
c) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\), với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\).
b) Cho phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}\).
Câu 3 (1,5 điểm)
Vào tháng 5 năm 2021, chỉ sau 26 giờ phát hành sản phẩm âm nhạc MV “Trốn tìm” của rapper Đen Vâu đã chính thức dành Top 1 trending của YouTube Việt Nam. Giả sử trong tất cả những người đã xem MV, có 60% số người đã xem 2 lượt và những người còn lại mới chỉ xem 1 lượt. Hỏi đến thời điểm nói trên có bao nhiêu người đã xem MV, biết rằng tổng số lượt xem là 6,4 triệu lượt?
Câu 4 (3,0điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) (\(D \in BC\), \(E \in AC\) và \(F \in AB\)) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(CF\) và \(DE\). Chứng minh rằng \(DN.EF = HF.CN.\)
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Chứng minh \(\angle OAM = \angle DAP\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\) (\(x,y \in \mathbb{R}\)).
Câu 1
Phương pháp:
a) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để rút gọn biểu thức
b) Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song xác định hệ số \(a\) và điều kiện của hệ số \(b\)
Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;9} \right)\), xác định được hế số \(b\) đối chiếu điều kiện, kết luận.
c) Áp dụng quy tắc trừ, nhân các phân thức đại số để rút gọn biểu thức.
Cách giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \\\,\,\,\,\, = 8 + 4 - 2.6 = 0\end{array}\)
Vậy \(A = 0\).
b) Ta có: \(M\left( {1;9} \right)\) thuộc đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) nên ta có: \(a + b = 9\,\,\left( 1 \right)\)
Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 3x\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 0\end{array} \right.\).
Thay \(a = 3\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(b = 6\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy \(a = 3,\,\,b = 6\).
c) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \sqrt x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = 1\end{array}\)
Vậy \(P = 1\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2
Phương pháp:
a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, xác định nghiệm của hệ phương trình.
b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\) để tính giá trị của biểu thức \(T\)
Chú ý: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\); \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \)
Cách giải:
a) Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.2.2 = 9 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2\\{x_1} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;\dfrac{1}{2}} \right\}\).
b) Vì phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 12\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\).
Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {12^2} - 2.4 = 136\)
\({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 12 + 2\sqrt 4 = 16 \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4\).
Vậy \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{{136}}{4} = 34\).
Câu 3
Phương pháp:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người)
Xác định số người đã xem 2 lượt và số người chỉ xem 1 lượt
Theo giả thiết, tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên lập phương trình
Giải phương trình, xác định \(x\), đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Khi đó số người đã xem 2 lượt là \(60\% x = 0,6x\) (người) và số người chỉ xem 1 lượt là \(40\% x = 0,4x\) (người).
Vì tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}0,6x.2 + 0,4x.1 = 1,6x = 6,4\\ \Leftrightarrow 1,6x = 6,4 \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
Vậy có 4 triệu người xem MV.
Câu 4
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận của tứ giác: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.
b) Vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác.
c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn và tam giác đồng dạng.
Cách giải:
a) Ta có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\) (do \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\))
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Ta có \(\angle CDH = \angle CEH = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CDH + \angle CEH = {180^0}\) nên \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle DCN = \angle NEH\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)).
Xét tam giác \(\Delta DCN\) và \(\Delta HEN\) ta có:
\(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle DNC = \angle HNE\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta DCN\) đồng dạng với \(\Delta HEN\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HN}}{{EN}}\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle DCN = \angle HEF\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Mà \(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle NEH = \angle HEF\) hay \(EH\) là tia phân giác của \(\angle NEF\).
\( \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{EN}} = \dfrac{{HF}}{{EF}}\) (tính chất đường phân giác) (2)
Từ (1) và (2) ta được \(\dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HF}}{{EF}} \Leftrightarrow DN.EF = HF.CN\) (đpcm)
c) Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OM \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Mà \(BC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OM//AD \Rightarrow OP//AD\)
\( \Rightarrow \angle DAP = \angle APO\) (so le trong) (3)
Mặt khác ta có: \(PB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(OB \bot BP \Rightarrow \angle OBP = {90^0}\) (định nghĩa).
Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác \(OPB\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường cao ta có \(O{B^2} = OM.OP\).
Mà \(O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow O{A^2} = OM.OP \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\).
Xét tam giác \(\Delta OAM\) và \(\Delta OPA\) ta có:
\(\angle AOP\) chung;
\(\dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\,\,\left( {cmt} \right);\)
\( \Rightarrow \Delta OAM\) đồng dạng với \(\Delta OPA\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OPA\) (2 góc tương ứng) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle OAM = \angle DAP\) (đpcm)
Câu 5
Phương pháp:
Xác định điều kiện của hệ phương trình
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\), biến đổi phương trình (1), tìm được mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\)
Thế lần lượt vào phương trình (2), tìm nghiệm của hệ phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
ĐKXĐ: \(x,\,\,y \ge 0\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {xy} + 3\sqrt {xy} - 3y = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + 3\sqrt y \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y - 4} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \sqrt y \\\sqrt x + 3\sqrt y = 4\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: \(\sqrt x = \sqrt y \) \( \Leftrightarrow x = y\). Thay vào (2) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + x - {x^2} + x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x - {x^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 1 - \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 2x - 5} \right) = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 = y\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2} = y\,\,\left( {do\,\,x,y \ge 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 3\sqrt y = 4\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\).
Đặt \(\sqrt x = a,\,\,\sqrt y = b\,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b = 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{{4 - a}}{3}\\\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + ab - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Thế \(b = \dfrac{{4 - a}}{3}\) vào (*) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{{4 - a}}{3}} \right)}^2} + a.\dfrac{{4 - a}}{3} - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right).\dfrac{{16 - 8a + {a^2} + 12a - 3{a^2} - 9{a^4} + 9{a^2}}}{9} = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( { - 9{a^4} + 7{a^2} + 4a + 16} \right) = 32\\ \Leftrightarrow 9{a^6} + 2{a^4} - 4{a^3} - 23{a^2} - 4a + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {9{a^4} + 18{a^3} + 29{a^2} + 36a + 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\left( {do\,\,a \ge 0} \right) \Rightarrow b = \dfrac{{4 - 1}}{3} = 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\\\sqrt y = 1 \Leftrightarrow y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\).
Câu 1 (2,5 điểm):
a) Tính \(A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \)
b) Xác định các hệ số \(a,\,\,b\) của đường thẳng \(y = ax + b\), biết đường thẳng này đi qua điểm \(M\left( {1;9} \right)\) và song song với đường thẳng \(y = 3x\).
c) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\), với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\).
b) Cho phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}\).
Câu 3 (1,5 điểm)
Vào tháng 5 năm 2021, chỉ sau 26 giờ phát hành sản phẩm âm nhạc MV “Trốn tìm” của rapper Đen Vâu đã chính thức dành Top 1 trending của YouTube Việt Nam. Giả sử trong tất cả những người đã xem MV, có 60% số người đã xem 2 lượt và những người còn lại mới chỉ xem 1 lượt. Hỏi đến thời điểm nói trên có bao nhiêu người đã xem MV, biết rằng tổng số lượt xem là 6,4 triệu lượt?
Câu 4 (3,0điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) (\(D \in BC\), \(E \in AC\) và \(F \in AB\)) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(CF\) và \(DE\). Chứng minh rằng \(DN.EF = HF.CN.\)
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Chứng minh \(\angle OAM = \angle DAP\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\) (\(x,y \in \mathbb{R}\)).
Câu 1
Phương pháp:
a) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để rút gọn biểu thức
b) Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song xác định hệ số \(a\) và điều kiện của hệ số \(b\)
Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;9} \right)\), xác định được hế số \(b\) đối chiếu điều kiện, kết luận.
c) Áp dụng quy tắc trừ, nhân các phân thức đại số để rút gọn biểu thức.
Cách giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \\\,\,\,\,\, = 8 + 4 - 2.6 = 0\end{array}\)
Vậy \(A = 0\).
b) Ta có: \(M\left( {1;9} \right)\) thuộc đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) nên ta có: \(a + b = 9\,\,\left( 1 \right)\)
Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 3x\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 0\end{array} \right.\).
Thay \(a = 3\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(b = 6\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy \(a = 3,\,\,b = 6\).
c) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \sqrt x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = 1\end{array}\)
Vậy \(P = 1\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2
Phương pháp:
a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, xác định nghiệm của hệ phương trình.
b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\) để tính giá trị của biểu thức \(T\)
Chú ý: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\); \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \)
Cách giải:
a) Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.2.2 = 9 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2\\{x_1} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;\dfrac{1}{2}} \right\}\).
b) Vì phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 12\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\).
Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {12^2} - 2.4 = 136\)
\({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 12 + 2\sqrt 4 = 16 \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4\).
Vậy \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{{136}}{4} = 34\).
Câu 3
Phương pháp:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người)
Xác định số người đã xem 2 lượt và số người chỉ xem 1 lượt
Theo giả thiết, tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên lập phương trình
Giải phương trình, xác định \(x\), đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Khi đó số người đã xem 2 lượt là \(60\% x = 0,6x\) (người) và số người chỉ xem 1 lượt là \(40\% x = 0,4x\) (người).
Vì tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}0,6x.2 + 0,4x.1 = 1,6x = 6,4\\ \Leftrightarrow 1,6x = 6,4 \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
Vậy có 4 triệu người xem MV.
Câu 4
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận của tứ giác: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.
b) Vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác.
c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn và tam giác đồng dạng.
Cách giải:
a) Ta có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\) (do \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\))
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Ta có \(\angle CDH = \angle CEH = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CDH + \angle CEH = {180^0}\) nên \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle DCN = \angle NEH\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)).
Xét tam giác \(\Delta DCN\) và \(\Delta HEN\) ta có:
\(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle DNC = \angle HNE\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta DCN\) đồng dạng với \(\Delta HEN\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HN}}{{EN}}\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle DCN = \angle HEF\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Mà \(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle NEH = \angle HEF\) hay \(EH\) là tia phân giác của \(\angle NEF\).
\( \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{EN}} = \dfrac{{HF}}{{EF}}\) (tính chất đường phân giác) (2)
Từ (1) và (2) ta được \(\dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HF}}{{EF}} \Leftrightarrow DN.EF = HF.CN\) (đpcm)
c) Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OM \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Mà \(BC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OM//AD \Rightarrow OP//AD\)
\( \Rightarrow \angle DAP = \angle APO\) (so le trong) (3)
Mặt khác ta có: \(PB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(OB \bot BP \Rightarrow \angle OBP = {90^0}\) (định nghĩa).
Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác \(OPB\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường cao ta có \(O{B^2} = OM.OP\).
Mà \(O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow O{A^2} = OM.OP \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\).
Xét tam giác \(\Delta OAM\) và \(\Delta OPA\) ta có:
\(\angle AOP\) chung;
\(\dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\,\,\left( {cmt} \right);\)
\( \Rightarrow \Delta OAM\) đồng dạng với \(\Delta OPA\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OPA\) (2 góc tương ứng) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle OAM = \angle DAP\) (đpcm)
Câu 5
Phương pháp:
Xác định điều kiện của hệ phương trình
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\), biến đổi phương trình (1), tìm được mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\)
Thế lần lượt vào phương trình (2), tìm nghiệm của hệ phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
ĐKXĐ: \(x,\,\,y \ge 0\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {xy} + 3\sqrt {xy} - 3y = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + 3\sqrt y \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y - 4} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \sqrt y \\\sqrt x + 3\sqrt y = 4\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: \(\sqrt x = \sqrt y \) \( \Leftrightarrow x = y\). Thay vào (2) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + x - {x^2} + x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x - {x^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 1 - \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 2x - 5} \right) = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 = y\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2} = y\,\,\left( {do\,\,x,y \ge 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 3\sqrt y = 4\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\).
Đặt \(\sqrt x = a,\,\,\sqrt y = b\,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b = 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{{4 - a}}{3}\\\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + ab - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Thế \(b = \dfrac{{4 - a}}{3}\) vào (*) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{{4 - a}}{3}} \right)}^2} + a.\dfrac{{4 - a}}{3} - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right).\dfrac{{16 - 8a + {a^2} + 12a - 3{a^2} - 9{a^4} + 9{a^2}}}{9} = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( { - 9{a^4} + 7{a^2} + 4a + 16} \right) = 32\\ \Leftrightarrow 9{a^6} + 2{a^4} - 4{a^3} - 23{a^2} - 4a + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {9{a^4} + 18{a^3} + 29{a^2} + 36a + 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\left( {do\,\,a \ge 0} \right) \Rightarrow b = \dfrac{{4 - 1}}{3} = 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\\\sqrt y = 1 \Leftrightarrow y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Nghệ An năm 2021 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi này, việc nắm vững cấu trúc đề thi, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em một cái nhìn tổng quan về đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An năm 2021, cùng với những phân tích chi tiết và lời khuyên hữu ích.
Đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An năm 2021 thường có cấu trúc gồm hai phần chính: Phần trắc nghiệm và phần tự luận. Phần trắc nghiệm thường chiếm khoảng 30-40% tổng số điểm, với các câu hỏi tập trung vào kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng đơn giản. Phần tự luận chiếm khoảng 60-70% tổng số điểm, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng giải quyết các bài toán phức tạp, chứng minh các định lý và áp dụng kiến thức vào thực tế.
Đề thi chính thức năm 2021 có độ khó tương đối cao, tập trung vào các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9. Các câu hỏi trong đề thi đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích, suy luận logic và vận dụng linh hoạt các công thức, định lý đã học. Một số câu hỏi trong đề thi có tính ứng dụng cao, yêu cầu thí sinh phải có khả năng giải quyết các vấn đề thực tế.
Đề thi thử trường THPT Huỳnh Văn Lũy được đánh giá là sát với đề thi chính thức, giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán. Đề thi này tập trung vào các dạng bài tập thường gặp, như phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, và các bài toán hình học cơ bản.
Đề thi thử trường THPT Nghi Lộc 2 có độ khó cao hơn so với đề thi chính thức, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và khả năng giải quyết các bài toán phức tạp. Đề thi này tập trung vào các dạng bài tập nâng cao, như phương trình vô tỷ, bất đẳng thức, và các bài toán hình học không gian.
Ngoài bộ đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An năm 2021, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn thi khác, như sách giáo khoa, sách bài tập, các trang web học toán online, và các video bài giảng trên YouTube.
Đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An năm 2021 là một kỳ thi quan trọng, đòi hỏi các em học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng. Hy vọng rằng những thông tin và lời khuyên trong bài viết này sẽ giúp các em ôn thi hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất. Chúc các em thành công!
