Giải bài 4.51 trang 72 Sách bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính số đo các góc x, y, z, t, v trong hình 4.55

Giải bài 4.51 trang 72 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 4.51 trang 72 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống 2

-Trong tam giác vuông tổng hai góc còn lại bằng 90 độ

-Tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 180 độ

Lời giải chi tiết

Vì tam giác BED vuông tại E nên \(x+40^0=90^0 \Rightarrow x = {90^0} - {40^0} = {50^0}\).

Vì \(x+y+70^0=180^0 \Rightarrow y = {180^0} - x - {70^0} = {60^0}\).

Vì tam giác AED vuông tại E nên \(z+y=90^0 \Rightarrow z = {90^0} - y = 90^0-60^0={30^0}\).

Vì tam giác ADC có AC = AD nên là tam giác cân tại A \(\Rightarrow v = {70^0}\).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác trong tam giác ADC, có:

\(v+70^0+t=180^0 \\\Rightarrow t = {180^0} - {70^0} - v ={180^0} - {70^0}-70^0= {40^0}\).

Vậy \(x=50^0;y=60^0;z=30^0; v=70^0;t=40^0\).

Giải bài 4.51 trang 72 Sách bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức: Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Bài 4.51 trang 72 Sách bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 7, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tam giác cân, tính chất đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác trong tam giác cân để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý liên quan.

Nội dung bài 4.51 trang 72 Sách bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức

Bài 4.51 yêu cầu học sinh chứng minh một số tính chất liên quan đến tam giác cân. Cụ thể, bài toán thường yêu cầu chứng minh:

Nếu tam giác ABC cân tại A, thì đường trung tuyến xuất phát từ A cũng là đường cao và đường phân giác.
Ngược lại, nếu đường trung tuyến xuất phát từ A đồng thời là đường cao, thì tam giác ABC cân tại A.

Phương pháp giải bài 4.51 trang 72 Sách bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức

Để giải bài 4.51, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:

Sử dụng định nghĩa tam giác cân: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Sử dụng tính chất của đường trung tuyến: Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.
Sử dụng tính chất của đường cao: Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện.
Sử dụng tính chất của đường phân giác: Đường phân giác của tam giác là đoạn thẳng chia góc của tam giác thành hai góc bằng nhau.
Sử dụng các tam giác bằng nhau: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo các trường hợp bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc) để suy ra các cạnh hoặc góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết bài 4.51 trang 72 Sách bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức

(a) Chứng minh nếu tam giác ABC cân tại A, thì đường trung tuyến xuất phát từ A cũng là đường cao và đường phân giác.

Chứng minh:

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó, BM = MC.

Xét tam giác ABM và tam giác ACM, ta có:

AB = AC (giả thiết)
BM = MC (M là trung điểm của BC)
AM là cạnh chung

Do đó, tam giác ABM = tam giác ACM (cạnh - cạnh - cạnh).

Suy ra ∠AMB = ∠AMC. Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° (kề bù) nên ∠AMB = ∠AMC = 90°. Vậy AM ⊥ BC, tức là AM là đường cao của tam giác ABC.

Tương tự, ta có ∠BAM = ∠CAM, tức là AM là đường phân giác của góc BAC.

(b) Chứng minh nếu đường trung tuyến xuất phát từ A đồng thời là đường cao, thì tam giác ABC cân tại A.

Chứng minh:

Gọi M là trung điểm của BC. Vì AM là đường trung tuyến nên BM = MC.

Vì AM là đường cao nên AM ⊥ BC, tức là ∠AMB = ∠AMC = 90°.

Xét tam giác ABM và tam giác ACM, ta có:

BM = MC (giả thiết)
∠AMB = ∠AMC = 90° (giả thiết)
AM là cạnh chung

Do đó, tam giác ABM = tam giác ACM (cạnh - góc - cạnh).

Suy ra AB = AC. Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về bài 4.51, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Cho tam giác ABC cân tại B. Gọi D là trung điểm của AC. Chứng minh BD là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Kết luận

Bài 4.51 trang 72 Sách bài tập Toán 7 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về tính chất của tam giác cân và các đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác trong tam giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải toán.