Chào mừng bạn đến với chuyên mục tổng hợp lý thuyết và bài tập cuối chương II môn Toán tại montoan.com.vn. Chúng tôi cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng, các dạng bài tập thường gặp và lời giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn học Toán hiệu quả, dễ dàng và thú vị hơn.
Lý thuyết bài tập cuối chương II
1. Quan hệ chia hết
Khi nào thì a chia hết cho b?
Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b,\) trong đó \(b \ne 0,\) nếu có số tự nhiên \(x\) sao cho \(b.x = a\) thì ta nói \(a\) chia hết cho \(b\) và ta có phép chia hết \(a:b = x\), kí hiệu là \(a \vdots b\).
Ước và bội
a. Định nghĩa
- Nếu có số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ thì ta nói $a$ là bội của $b,$ còn $b$ là ước của $a.$
b. Cách tìm bội
- Ta có thể tìm các bội của một số khác \(0\) bằng cách nhân số đó lần lượt với $0,1,2,3,...$
c. Cách tìm ước
- Ta có thể tìm các ước của $a$\(\left( {a > 1} \right)\) bằng cách lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $a$ để xét xem $a$ chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của $a.$
Tính chất chia hết của môt tổng
- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
\(a\, \vdots \,m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots m\)
- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
$a \not {\vdots\, m};\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \not {\vdots}\, m$
Mở rộng
Tính chất 3: \(a \vdots m \Rightarrow k.a \vdots m\,\,\left( {k \in N} \right)\)
Tính chất 4: \(a \vdots m;\,b \vdots m \Rightarrow ab \vdots m\)
Tính chất 5: \(a \vdots b \Rightarrow {a^n} \vdots {b^n}\)
2. Dấu hiệu chia hết
Chia hết cho | Dấu hiệu |
\[2\] | Chữ số tận cùng là số chẵn \(\left( {0,{\rm{ }}2,{\rm{ }}4,{\rm{ }}6,{\rm{ }}8} \right)\) |
\[5\] | Chữ số tận cùng là \(0\) hoặc \(5\) |
\[3\] | Tổng các chữ số chia hết cho \(3\) |
\[9\] | Tổng các chữ số chia hết cho \(9\) |
3. Số nguyên tố. Hợp số
a. Định nghĩa
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1,$ chỉ có $2$ ước là $1$ và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn $1,$ có nhiều hơn $2$ ước.
b. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Để tìm một ước nguyên tố của \(a\) ta có thể làm như sau:
Bước 1: Chia \(a\) cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần \(2,3,5,7,11,13,...\)
Bước 2: Số chia trong phép chia hết đầu tiên là một ước của \(a\)
- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn \(1\) ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
- Viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn, tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.
Các cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Sơ đồ cột:
Chia số \(n\) cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn ), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng \(1.\)
Sơ đồ cây:
Bước 1: Phân tích số n thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.
Bước 2: Tiếp tục phân tích ước thứ nhất và ước thứ hai thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.
Bước 3: Cứ như vậy đến khi nào xuất hiện số nguyên tố thì dừng lại.
Bước 4: Số n bằng tích của các số cuối cùng của mỗi nhánh.
Nhận xét:
* Cách tính số lượng các ước của một số $m\left( {m > 1} \right)$: ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:
Nếu $m = {a^x}$ thì $m$ có $x + 1$ ước
Nếu $m = {a^x}.{b^y}$ thì $m$ có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)$ ước
Nếu $m = {a^x}.{b^y}.{c^z}$ thì $m$ có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)$ ước.
4. Ước chung và ước chung lớn nhất
a. Ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a;b} \right)\) nếu \(a \vdots x\) và \(b \vdots x.\)
+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a;b;c} \right)\) nếu \(a \vdots x\) ; \(b \vdots x\) và \(c \vdots x.\)
b. Ước chung lớn nhất
+) Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
+) Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN
Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Chú ý: Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
+) Cách tìm ƯC thông qua ƯCLN
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ươc của ƯCLN của các số đó.
Ứng dụng trong rút gọn phân số tối giản
Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.
Phân số tối giản: \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản nếu ƯCLN\(\left( {a,b} \right) = 1\)
Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\).
5. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
a. Bội chung
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+) \(x \in BC\left( {a;b} \right)\) nếu \(x \vdots a\) và \(x \vdots b\)
+) \(x \in BC\left( {a;b;c} \right)\) nếu \(x \vdots a\); \(x \vdots b\) và \(x \vdots c\)
b. Bội chung nhỏ nhất
+) Định nghĩa
Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
+) Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
+) Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất
Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
Ứng dụng trong tìm mẫu chung của các phân số
Cách 1: Chọn mẫu chung cho hai phân số là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số đó.
Cách 2: Chọn bội chung bất kì khác 0 của 2 mẫu số đó.
Chương II trong chương trình Toán học thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như số nguyên, phân số, tỉ lệ thức, đa thức, phương trình, hệ phương trình, hình học phẳng, hình học không gian, hoặc thống kê và xác suất. Bài tập cuối chương II là cơ hội để học sinh củng cố kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng giải toán và chuẩn bị cho các bài kiểm tra, thi cử.
Tùy thuộc vào lớp học và chương trình học, nội dung của bài tập cuối chương II có thể khác nhau. Tuy nhiên, một số chủ đề thường gặp bao gồm:
Bài tập cuối chương II thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập cuối chương II hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài tập: Giải phương trình 2x + 3 = 7
Lời giải:
Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 2
Để học tập và ôn luyện hiệu quả, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Học Toán đòi hỏi sự kiên trì, chăm chỉ và luyện tập thường xuyên. Đừng ngại hỏi thầy cô, bạn bè khi gặp khó khăn. Hãy tìm kiếm các nguồn tài liệu học tập phù hợp và áp dụng các phương pháp giải bài tập hiệu quả. Chúc bạn học Toán thành công!
Chủ đề | Nội dung chính |
---|---|
Số nguyên | Các phép toán, tính chất, ứng dụng |
Phân số | Các phép toán, so sánh, rút gọn |
Tỉ lệ thức | Khái niệm, tính chất, ứng dụng |
Bảng tóm tắt nội dung chính |