THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 25 trang 97 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải dễ hiểu, kèm theo giải thích chi tiết để học sinh nắm vững kiến thức.
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh huyền \(BC\). Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(AB,AC\).
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh huyền \(BC\). Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(AB,AC\).
a) Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao?
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DE\). Chứng minh ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng
c) Chứng minh khi điểm \(M\) thay đổi vị trí trên cạnh \(BC\) thì chu vi của tứ giác \(ADME\) không đổi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào tính chất của hình chữ nhật:
- Hai cạnh đối song song và bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Và dựa vào định lí Pythagore: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
a) Tứ giác \(ADME\) có \(\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^\circ \) nên \(ADME\) là hình chữ nhật.
b) Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên hai đường chéo \(DE\) và \(AM\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà \(I\) là trung điểm của \(DE\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(AM\). Vậy ba điểm \(A < I,M\) thẳng hàng.
c) Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(DM//AC\). Suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong). Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^\circ \). Do đó, tam giác \(BDM\) cân tại \(D\). Suy ra \(BD = DM\).
Chu vi hình chữ nhật \(ADME\) là: \(2\left( {AD + DM} \right) = 2\left( {AD + BD} \right) = DM\)
Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của tứ giác \(ADME\) không đổi.
d)
Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(AM = DE\)
Suy ra \(DE\) có độ dài nhỏ nhất khi \(AM\) có độ dài nhỏ nhất. vậy \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(BC\).
Trong tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) ta cóL
\(AC = AB = 2cm\) và \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 8\)
Suy ra \(BC = \sqrt 8 cm\)
\(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra \(BM = CM = \frac{{BC}}{2} = \sqrt 2 cm\)
Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {ABM} = 45^\circ \) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {ABM} = 45^\circ \). Suy ra tam giác \(ABM\) vuông cân tại \(M\). Do đó \(AM = BM = \sqrt 2 cm\). Vậy \(DE = \sqrt 2 cm\).
Bài 25 trang 97 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 8, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về các dạng bài tập liên quan đến hình học, cụ thể là các bài toán về tứ giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để chứng minh các tính chất của tứ giác, giải các bài toán thực tế liên quan đến tứ giác, và rèn luyện kỹ năng giải toán hình học.
Bài 25 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, được chia thành các phần nhỏ để học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết. Các bài tập thường yêu cầu:
Để giải bài 25 trang 97 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều một cách hiệu quả, học sinh cần:
Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng EG và FH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của EG và FH. Xét tứ giác ABCD, ta có E là trung điểm của AB, G là trung điểm của CD. Do đó, EG là đường trung bình của tam giác ABD và BCD. Tương tự, F là trung điểm của BC, H là trung điểm của DA, nên FH là đường trung bình của tam giác ABC và ADC.
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:
Xét tam giác AIC, ta có E là trung điểm của AI và G là trung điểm của IC. Do đó, EG là đường trung bình của tam giác AIC, suy ra EG // AC và EG = AC/2.
Tương tự, xét tam giác BID, ta có F là trung điểm của BI và H là trung điểm của ID. Do đó, FH là đường trung bình của tam giác BID, suy ra FH // BD và FH = BD/2.
Vì EG // AC và FH // BD, nên góc giữa EG và FH bằng góc giữa AC và BD. Do đó, EG và FH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng BN = ND.
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành, nên AB // CD và AB = CD. Do đó, tam giác ABN đồng dạng với tam giác MDN (g.g). Suy ra:
AB/MD = BN/ND
Vì M là trung điểm của BC, nên BC = 2MD. Mà AB = CD, nên AB/MD = CD/MD = 2. Do đó, BN/ND = 2, suy ra BN = 2ND. Vậy BN = ND.
Bài 25 trang 97 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tứ giác. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài tập liên quan đến tứ giác một cách hiệu quả.
