Giải bài 43 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Giải bài 43 trang 104 Sách bài tập Toán 8 Cánh Diều
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 43 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải bài tập, rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\)
Đề bài
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\)
a) Chứng minh tứ giác \(MBND\) là hình bình hành.
b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN,Q\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh tứ giác \(PMQN\) là hình chữ nhật.
c) Tìm điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để tứ giác \(PMQN\) là hình vuông.
d) Tính diện tích của tứ giác \(PMQN\), biết \(AB = 2cm,\widehat {MAD} = 30^\circ \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC//AD\) và \(BC = AD\)
Mà \(M \in BC,N \in AD\) nên \(MB//ND\)
Lại có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\) nên \(MB = MC = \frac{{12}}{{}}BC,NA = ND = \frac{1}{2}A\)
Do đó \(MB = MC = NA = ND\)
Tứ goác \(MBND\) có \(MB//ND\) và \(MB = ND\) nên là hình bình hành.
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được \(MANC\) là hình bình hành.
Do \(MBND,MANC\) đều là hình bình hành nên \(PN//MQ,PM//NQ\). Suy ra tứ giác \(PMQN\) là hình bình hành.
\(\Delta ABN = \Delta MBN\) (c.g.c). Suy ra \(AB = MN\).
Tứ giác \(ABMN\) có \(AB = BM - MN = AN\) nên \(ABMN\) là hình thoi. Suy ra \(AM \bot Bn\)
Hình bình hành \(PMQN\) có \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) nên \(PMQN\) là hình chữ nhật.
c) Để hình chữ nhật \(PMQN\) là hình vuông thì \(PM = PN\).
Mà \(ABMN\) là hình thoi nên \(ABMN\) là hình bình hành. Suy ra \(AM,BN\) cắt nhau tại trung điểm \(P\) của mỗi đường. mà \(PM = PN\), suy ra \(AM = BN\).
Hình bình hành \(ABMN\) có \(AM = BN\) nên \(ABMN\) là hình chữ nhật
Suy ra \(\widehat {ABM} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Dễ thấy, nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(BC = 2AB\) thì \(PMQN\) là hình vuông.
Vậy điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để \(PMQN\) là hình vuông là hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(BC = 2AB\).
d) Ta có: \(BM = AB\) nên \(BM = 2cm\)
Do \(ABMN\) là hình thoi nên \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAN}\)
Suy ra \(\widehat {BAN} = 2\widehat {MAD} = 60^\circ \)
Tam giác \(ABN\) có \(AB = AN\) và \(\widehat {BAN} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABN\) đều.
Suy ra \(BN = AN = AB = 2cm\)
Do \(P\) là trung điểm của \(BN\) nên \(BP = NP = \frac{{BN}}{2} = 1cm\)
Trong tam giác \(BMP\) vuông tại \(P\), ta có: \(B{M^2} = B{P^2} + M{P^2}\)
Suy ra \(M{P^2} = B{M^2} - B{P^2} = 3\). Do đó \(MP = \sqrt 3 \) cm
Do \(PMQN\) là hình chữ nhật nên diện tích của \(PMQN\) là:
\(MP.NP = \sqrt 3 .1 = \sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
Giải bài 43 trang 104 Sách bài tập Toán 8 Cánh Diều: Tổng quan
Bài 43 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 8, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về các dạng bài tập liên quan đến hình học, cụ thể là các tính chất của hình thang cân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Nội dung chi tiết bài 43 trang 104
Bài 43 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, yêu cầu học sinh:
- Nhận biết các yếu tố của hình thang cân (đáy lớn, đáy nhỏ, cạnh bên, đường cao).
- Vận dụng các tính chất của hình thang cân để chứng minh các tính chất khác.
- Tính độ dài các đoạn thẳng liên quan đến hình thang cân.
- Giải các bài toán thực tế ứng dụng kiến thức về hình thang cân.
Lời giải chi tiết bài 43 trang 104
Câu 1: (SBT Toán 8 Cánh Diều, trang 104)
(Giả sử đề bài là: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AD = BC. Chứng minh rằng AC = BD.)
Lời giải:
Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:
- AD = BC (giả thiết)
- ∠ADC = ∠BCD (tính chất hình thang cân)
- DC là cạnh chung
Do đó, ΔADC = ΔBCD (c-g-c). Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng).
Câu 2: (SBT Toán 8 Cánh Diều, trang 104)
(Giả sử đề bài là: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN là đường trung bình của hình thang.)
Lời giải:
Gọi E là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD và ∠DAC = ∠BCA.
Xét hai tam giác ADE và BCE, ta có:
- AD = BC (tính chất hình thang cân)
- ∠DAE = ∠CBE (cmt)
- ∠ADE = ∠BCE (tính chất hình thang cân)
Do đó, ΔADE = ΔBCE (g-c-g). Suy ra AE = BE và DE = CE.
Vì M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC nên AM = MD và BN = NC.
Xét tam giác ADC, ta có M là trung điểm của AD và E là trung điểm của DC. Do đó, ME là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra ME // AC và ME = AC/2.
Tương tự, xét tam giác BCD, ta có N là trung điểm của BC và E là trung điểm của DC. Do đó, NE là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra NE // BD và NE = BD/2.
Vì AC = BD (cmt) nên ME = NE. Do đó, M, E, N thẳng hàng.
Vì ME // AC và NE // BD mà AC // BD nên ME // BD. Suy ra MN // AB // CD.
Mặt khác, MN = ME + EN = AC/2 + BD/2 = AC (vì AC = BD). Do đó, MN = (AB + CD)/2, là đường trung bình của hình thang ABCD.
Mẹo giải bài tập hình thang cân
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các yếu tố của hình thang cân.
- Vận dụng linh hoạt các tính chất của hình thang cân.
- Sử dụng các định lý và tính chất đã học để chứng minh các tính chất khác.
- Chia nhỏ bài toán lớn thành các bài toán nhỏ hơn để dễ dàng giải quyết.
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa Toán 8 Cánh Diều
Sách bài tập Toán 8 Cánh Diều
Các trang web học Toán online uy tín
Kết luận
Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải bài 43 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
