Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 43 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải bài tập, rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\)
Đề bài
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\)
a) Chứng minh tứ giác \(MBND\) là hình bình hành.
b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN,Q\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh tứ giác \(PMQN\) là hình chữ nhật.
c) Tìm điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để tứ giác \(PMQN\) là hình vuông.
d) Tính diện tích của tứ giác \(PMQN\), biết \(AB = 2cm,\widehat {MAD} = 30^\circ \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC//AD\) và \(BC = AD\)
Mà \(M \in BC,N \in AD\) nên \(MB//ND\)
Lại có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\) nên \(MB = MC = \frac{{12}}{{}}BC,NA = ND = \frac{1}{2}A\)
Do đó \(MB = MC = NA = ND\)
Tứ goác \(MBND\) có \(MB//ND\) và \(MB = ND\) nên là hình bình hành.
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được \(MANC\) là hình bình hành.
Do \(MBND,MANC\) đều là hình bình hành nên \(PN//MQ,PM//NQ\). Suy ra tứ giác \(PMQN\) là hình bình hành.
\(\Delta ABN = \Delta MBN\) (c.g.c). Suy ra \(AB = MN\).
Tứ giác \(ABMN\) có \(AB = BM - MN = AN\) nên \(ABMN\) là hình thoi. Suy ra \(AM \bot Bn\)
Hình bình hành \(PMQN\) có \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) nên \(PMQN\) là hình chữ nhật.
c) Để hình chữ nhật \(PMQN\) là hình vuông thì \(PM = PN\).
Mà \(ABMN\) là hình thoi nên \(ABMN\) là hình bình hành. Suy ra \(AM,BN\) cắt nhau tại trung điểm \(P\) của mỗi đường. mà \(PM = PN\), suy ra \(AM = BN\).
Hình bình hành \(ABMN\) có \(AM = BN\) nên \(ABMN\) là hình chữ nhật
Suy ra \(\widehat {ABM} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Dễ thấy, nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(BC = 2AB\) thì \(PMQN\) là hình vuông.
Vậy điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để \(PMQN\) là hình vuông là hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(BC = 2AB\).
d) Ta có: \(BM = AB\) nên \(BM = 2cm\)
Do \(ABMN\) là hình thoi nên \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAN}\)
Suy ra \(\widehat {BAN} = 2\widehat {MAD} = 60^\circ \)
Tam giác \(ABN\) có \(AB = AN\) và \(\widehat {BAN} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABN\) đều.
Suy ra \(BN = AN = AB = 2cm\)
Do \(P\) là trung điểm của \(BN\) nên \(BP = NP = \frac{{BN}}{2} = 1cm\)
Trong tam giác \(BMP\) vuông tại \(P\), ta có: \(B{M^2} = B{P^2} + M{P^2}\)
Suy ra \(M{P^2} = B{M^2} - B{P^2} = 3\). Do đó \(MP = \sqrt 3 \) cm
Do \(PMQN\) là hình chữ nhật nên diện tích của \(PMQN\) là:
\(MP.NP = \sqrt 3 .1 = \sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
Bài 43 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 8, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về các dạng bài tập liên quan đến hình học, cụ thể là các tính chất của hình thang cân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Bài 43 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, yêu cầu học sinh:
(Giả sử đề bài là: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AD = BC. Chứng minh rằng AC = BD.)
Lời giải:
Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:
Do đó, ΔADC = ΔBCD (c-g-c). Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng).
(Giả sử đề bài là: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN là đường trung bình của hình thang.)
Lời giải:
Gọi E là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD và ∠DAC = ∠BCA.
Xét hai tam giác ADE và BCE, ta có:
Do đó, ΔADE = ΔBCE (g-c-g). Suy ra AE = BE và DE = CE.
Vì M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC nên AM = MD và BN = NC.
Xét tam giác ADC, ta có M là trung điểm của AD và E là trung điểm của DC. Do đó, ME là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra ME // AC và ME = AC/2.
Tương tự, xét tam giác BCD, ta có N là trung điểm của BC và E là trung điểm của DC. Do đó, NE là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra NE // BD và NE = BD/2.
Vì AC = BD (cmt) nên ME = NE. Do đó, M, E, N thẳng hàng.
Vì ME // AC và NE // BD mà AC // BD nên ME // BD. Suy ra MN // AB // CD.
Mặt khác, MN = ME + EN = AC/2 + BD/2 = AC (vì AC = BD). Do đó, MN = (AB + CD)/2, là đường trung bình của hình thang ABCD.
Sách giáo khoa Toán 8 Cánh Diều
Sách bài tập Toán 8 Cánh Diều
Các trang web học Toán online uy tín
Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải bài 43 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!