THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo trên website Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Montoan.com.vn là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải, lý thuyết và bài tập Toán 8, Toán 9, Toán 10, Toán 11, Toán 12.
Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < {{90}^0}} \right)\), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < {{90}^0}} \right)\), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt BD và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\);
b) \(BH = CH;\)
c) Tam giác BOC vuông cân;
d) MNPQ là hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất của hai góc phụ nhau để chứng minh.
b) Sử dụng kiến thức về tính chất tam giác cân để chứng minh: Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau.
d) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABD vuông tại D nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = {90^0}\)
Tam giác ACE vuông tại E nên \(\widehat {ACE} + \widehat A = {90^0}\)
Do đó, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\)
b) Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)
mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) nên \(\widehat {ABC} - \widehat {ABD} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\)
Do đó, \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\). Suy ra, tam giác HBC cân tại H. Do đó, \(BH = CH\)
c) Không có dữ kiện của điểm O trong đề bài
d) Gọi O là giao điểm của CN và BP.
Vì BO là tia phân giác của góc ABD nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ABD}\)
Vì CO là tia phân giác của góc ACE nên \(\widehat {{C_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ACE}\)
Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cmt) nên \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\).
Do đó, \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = \widehat {{C_2}} + \widehat {{C_3}}\) hay \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}\). Suy ra, tam giác BOC cân tại O. Do đó, \(OB = OC\)
Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_2}}\left( { = \widehat {{B_2}}} \right)\) nên ta có:
\(\widehat {{B_3}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} + \widehat {{C_3}} = \widehat {{B_3}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_3}} = {180^0} - \widehat {BEC} = {90^0}\)
Do đó, \(\widehat {BOC} = {90^0}\) nên \(BO \bot NQ\)
Tam giác BMH và tam giác CQH có:
\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (cmt), \(BH = CH\) (cmt), \(\widehat {BHM} = \widehat {CHQ}\) (hai góc đối đỉnh). Do đó, \(\Delta BMH = \Delta CQH\left( {g - c - g} \right)\). Suy ra: \(BM = CQ\)
Do đó, \(OB - BM = OC - QC\) nên \(OM = OQ\) (1)
Tam giác BNQ có BO là đường cao đồng thời phân giác đồng thời là đường cao nên tam giác BNQ cân tại B.
Suy ra, BO là đường trung tuyến nên \(ON = OQ\) (2)
Chứng minh tương tự ta có: \(OM = OP\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(OM = OQ = OP = ON\)
Do đó, \(ON + OQ = OM + OP\) hay \(NQ = MP\)
Tứ giác MNPQ có: \(OM = OP;OQ = ON\) nên MNPQ là hình bình hành, mà \(NQ = MP\) nên MNPQ là hình chữ nhật. Lại có: \(MP \bot NQ\) nên MNPQ là hình vuông.
Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 8 tập 1, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về các phép biến đổi đơn giản với phân thức đại số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức để thực hiện các phép tính và rút gọn biểu thức.
Bài 4 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để cộng hai phân thức có mẫu số khác nhau, ta cần quy đồng mẫu số của chúng. Sau khi quy đồng, ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số chung. Ví dụ:
(x + 1) / (x - 1) + (x - 1) / (x + 1) = [(x + 1)^2 + (x - 1)^2] / [(x - 1)(x + 1)] = (x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1) / (x^2 - 1) = (2x^2 + 2) / (x^2 - 1)
Tương tự như phép cộng, ta cần quy đồng mẫu số trước khi thực hiện phép trừ. Sau khi quy đồng, ta trừ các tử số và giữ nguyên mẫu số chung.
(2x) / (x + 3) - (x) / (x - 3) = [2x(x - 3) - x(x + 3)] / [(x + 3)(x - 3)] = (2x^2 - 6x - x^2 - 3x) / (x^2 - 9) = (x^2 - 9x) / (x^2 - 9)
Để nhân hai phân thức, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau. Sau đó, ta rút gọn biểu thức nếu có thể.
(x^2 - 1) / (x + 2) * (x + 2) / (x - 1) = (x^2 - 1)(x + 2) / [(x + 2)(x - 1)] = (x - 1)(x + 1)(x + 2) / [(x + 2)(x - 1)] = x + 1
Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức bị chia với nghịch đảo của phân thức chia. Sau đó, ta rút gọn biểu thức nếu có thể.
(x^2 + 2x) / (x - 3) : (x + 2) / (x - 3) = (x^2 + 2x) / (x - 3) * (x - 3) / (x + 2) = (x^2 + 2x)(x - 3) / [(x - 3)(x + 2)] = x(x + 2)(x - 3) / [(x - 3)(x + 2)] = x
Việc nắm vững kiến thức về phân thức và các phép toán với phân thức là rất quan trọng trong chương trình Toán học. Nó giúp học sinh:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh đã có thể tự tin giải bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
