THCS
THCS
Bài 4.14 trang 54 Sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán lớp 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.14 trang 54, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau
Đề bài
Cho tam giác \(OAB\) vuông cân, với \(OA = OB = a.\) Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(B,\) \(F\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(D\) và \(G\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(A.\)
- Vẽ hình vuông \(OACB\) và hình chữ nhật \(OAED\)
Lời giải chi tiết
+) Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(OACB\)
Ta có: tứ giác \(OACB\) là hình bình hành
mặt khác \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(A\)
nên tứ giác \(OACB\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
+) Ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \)
Xét \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) có:
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
+) Gọi điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(B\)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \) và \(OD = 2a.\)
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \) với \(E\) là điểm thứ tư của hình bình hành \(OAED\)
Ta có: tứ giác \(OAED\) là hình bình hành
Mặt khác \(\widehat {DOA} = {90^ \circ }\)
Nên tứ giác \(OAED\) là hình chữ nhật
Xét hình chữ nhật \(OAED\) có:
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \)
+) Lấy điểm \(F\) đối xứng với \(B\) qua \(D\) và \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(A\)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OG} ,\) \(3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OF} ,\) \(OG = 2a,\)\(OF = 3a\)
Ta có: \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {FG} \)
Xét \(\Delta OFG\) vuông tại \(O\) có:
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG = \sqrt {O{F^2} + O{G^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt {13} \)
Bài 4.14 trang 54 Sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong mặt phẳng. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán cụ thể là: Cho tam giác ABC, tìm điểm M sao cho MA + MB + MC = 0)
Lời giải:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có:
MA + MB + MC = 3MG
Do đó, nếu MA + MB + MC = 0 thì 3MG = 0, suy ra MG = 0. Vậy M trùng với G, tức là M là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách tìm tọa độ trọng tâm G:
Nếu A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) thì tọa độ trọng tâm G được tính theo công thức:
G( (xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3 )
Ví dụ minh họa:
Cho A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6). Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB + MC = 0.
Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm, ta có:
G( (1 + 3 + 5)/3, (2 + 4 + 6)/3 ) = G(3, 4)
Vậy M trùng với G, tức là M(3, 4).
Lưu ý:
Trong quá trình giải bài tập, cần chú ý các bước sau:
Các bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Kết luận:
Bài 4.14 trang 54 Sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
