THCS
THCS
Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp cận nhất, giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O. M là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) đều có trọng tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)
Lời giải chi tiết
Gọi đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(G,\,\,J\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(BC\) cắt \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(P,\,\,I\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AC\) cắt \(AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(Q,\,\,H\).
Ta có: \(MG\)//\(AB\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MGH} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\)
\(MH\)//\(AC\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MHG} = \widehat {ACB} = {60^ \circ }\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta MHG\) là tam giác đều
Mặt khác \(MD \bot HG\)
\( \Rightarrow \) \(D\) là trung điểm của \(GH\)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MH} \) (1)
Chứng minh tương tự ta được: \(2\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} \), \(2\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} \) (2)
Ta có: tứ giác \(AQMJ,\) \(BPMG,\) \(CIMH\) là hình bình hành
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right) = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} \)
\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MH} } \right) + \left( {\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MG} } \right)\\ = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \\ = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} \\ = 3\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ = 3\overrightarrow {MO} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)
Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một số tính chất hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài tập 4.18 thường có dạng yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ, chứng minh hai vectơ vuông góc, hoặc xác định vị trí tương đối của các điểm dựa trên thông tin về vectơ. Để giải quyết những bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
(Giả sử bài tập 4.18 có nội dung cụ thể như sau: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{MA} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2)
Lời giải:
Ta có: overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC} = 2overrightarrow{AM} (quy tắc trung điểm)
Mà M là trung điểm của BC nên overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2
Vậy overrightarrow{MA} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2
Ngoài bài 4.18, sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức còn nhiều bài tập tương tự về vectơ. Để giải tốt những bài tập này, các em cần:
Vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách dễ dàng. Một số ứng dụng của vectơ trong hình học bao gồm:
Để hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng trong hình học, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
