THCS
THCS
Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H,\) trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O.\)
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)
b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
c) Chứng minh rằng ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành
- Chứng minh \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)
- Chứng minh \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \) từ đó rút ra kết luận \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
- Chứng minh \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\)
- Chứng minh \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương
Lời giải chi tiết
a) Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\) (1)
Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)
\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH.\)
Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} = \overrightarrow {A'C} \)
Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành
nên \(M\) là trung điểm của \(A'H\)
Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\)
\(O\) là trung điểm của \(AA'\)
\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)
\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)
\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AH} .\)
b) Ta có:
\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} \)
Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OH} \) (3)
c) Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương
hay ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.
Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một số tính chất hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và tìm ra hướng giải phù hợp. Thông thường, để chứng minh một tính chất hình học bằng vectơ, chúng ta cần:
Đề bài: (Giả sử đề bài là chứng minh một tứ giác là hình bình hành bằng phương pháp vectơ)
Lời giải:
Gọi A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ giác. Ta cần chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.
Để chứng minh ABCD là hình bình hành, ta có thể chứng minh một trong các điều kiện sau:
Ta sẽ chứng minh AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của BD.
Ta có: M = (A + C) / 2 và N = (B + D) / 2
Để chứng minh M trùng N, ta cần chứng minh (A + C) / 2 = (B + D) / 2, tức là A + C = B + D.
Từ đây, ta sử dụng các tính chất của vectơ và các giả thiết của bài toán để chứng minh đẳng thức A + C = B + D.
(Phần chứng minh cụ thể sẽ phụ thuộc vào giả thiết của bài toán. Ví dụ, nếu giả thiết là AB = DC và AB // DC, ta có thể sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh A + C = B + D)
Vậy, AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Khi giải các bài tập liên quan đến vectơ, cần lưu ý một số điểm sau:
Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, các em có thể tham khảo một số bài tập tương tự sau:
Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
