THCS
THCS
Bài 5.19 trang 65 Sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 9. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.19 trang 65 Sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A). a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O); b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và (widehat {MAB} = {60^o}).
Đề bài
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).
a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);
b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và \(\widehat {MAB} = {60^o}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
+ Chứng minh \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\) nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\).
+ Chứng minh \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .
+ Suy ra \(MB \bot OB\) tại B. Do đó, MB là tiếp tuyến của (O)
b) + Chứng minh tam giác MAB cân tại M và \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều, suy ra \(\widehat {AMB} = {60^o}\)
+ Ta có \(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\), từ đó tính được góc AOB và số đo cung nhỏ AB.
+ Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB (\({S_q}\)).
+ Tính được \(\widehat {AMO} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).
+ Tam giác MOA vuông tại A nên \(AM = AO.\tan \widehat {AMO}\).
+ Chứng minh \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} = \frac{1}{2}OA.AM\), từ đó tính diện tích tứ giác AOBM (\({S_{AOBM}}\)).
+ Diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là: \(S = {S_{AOBM}} - {S_q}\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
Tam giác AOH và tam giác BOH có:
OH chung, \(OA = OB\), \(\widehat {OHA} = \widehat {BHO} = {90^o}\)
nên \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\)
nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).
Tam giác AOM và tam giác BOM có:
OM chung, \(OA = OB\), \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)
nên \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\)
nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .
Do đó, \(MB \bot OB\) tại B.
Do đó, MB là tiếp tuyến của (O).
b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên \(MA = MB\).
Do đó, tam giác MAB cân tại M.
Mà \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều.
Do đó, \(\widehat {AMB} = {60^o}\).
Tứ giác AOBM có:
\(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\)
Suy ra:
\(\widehat {AOB} = {360^o} - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO}} \right) \\= {360^o} - \left( {{{90}^o} + {{90}^o} + {{60}^o}} \right) = {120^o}\)
Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = {120^o}\).
Do đó, diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:
\({S_q} = \frac{{120}}{{360}}.\pi {.3^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OM là phân giác của góc AOB nên \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).
Tam giác MOA vuông tại A nên
\(AM = AO.\tan \widehat {AOM} = 3.\tan {60^o} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).
Vì \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {cmt} \right)\)
nên \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} \) \(= \frac{1}{2}OA.AM = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 3 \) \( = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\).
Do đó diện tích tứ giác AOBM là:
\({S_{AOBM}} = 2{S_{\Delta AMO}} = 9\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là:
\(S = {S_{AOBM}} - {S_q} = 9\sqrt 3 - 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Bài 5.19 trang 65 Sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 thuộc chương trình học Toán 9, tập trung vào việc ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường mô phỏng các tình huống quen thuộc trong cuộc sống, đòi hỏi học sinh phải phân tích đề bài, lập hệ phương trình và giải để tìm ra nghiệm.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài và hiểu rõ yêu cầu. Xác định các đại lượng chưa biết và đặt ẩn số cho chúng. Ví dụ, nếu bài toán liên quan đến chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật, ta có thể đặt ẩn x là chiều dài và ẩn y là chiều rộng.
Dựa vào các thông tin được cung cấp trong đề bài, ta lập hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng đã đặt ẩn số. Hệ phương trình này thường bao gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ, nếu tổng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là 20cm và hiệu của chúng là 4cm, ta có hệ phương trình:
Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và phương pháp ma trận. Tùy thuộc vào cấu trúc của hệ phương trình, ta có thể chọn phương pháp phù hợp nhất để giải. Trong ví dụ trên, ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số:
(x + y) + (x - y) = 20 + 4
2x = 24
x = 12
Thay x = 12 vào phương trình x + y = 20, ta được:
12 + y = 20
y = 8
Sau khi giải hệ phương trình, ta cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo rằng nó thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Nếu nghiệm thỏa mãn, ta có thể kết luận và trả lời câu hỏi của bài toán.
Bài 5.19: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 30 phút, người đó tăng vận tốc lên 50km/h và đến B muộn hơn 10 phút so với dự kiến. Tính quãng đường AB.
Giải:
Gọi x là quãng đường AB (km). Thời gian dự kiến đi từ A đến B là x/40 (giờ).
Thời gian thực tế đi từ A đến B là: 0.5 + (x - 40*0.5)/50 (giờ).
Theo đề bài, thời gian thực tế đi từ A đến B muộn hơn dự kiến 10 phút (1/6 giờ), nên ta có phương trình:
0.5 + (x - 20)/50 = x/40 + 1/6
Giải phương trình trên, ta được x = 100 (km).
Vậy quãng đường AB là 100km.
Ngoài bài 5.19, còn rất nhiều bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1. Các bài tập này thường liên quan đến các chủ đề như:
Để giải các bài tập này, ta cần nắm vững các bước sau:
Để học tốt Toán 9, các em học sinh cần:
Montoan.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết bài 5.19 trang 65 Sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 sẽ giúp các em học sinh học tốt môn Toán 9.
