THCS
THCS
Bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.34 trang 72, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm (B in left( O right)) và (C in left( {O'} right)) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C. a) Chứng minh góc BAC là góc vuông. b) Cho biết (R = 3cm), (R' = 1cm) và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.
Đề bài
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm \(B \in \left( O \right)\) và \(C \in \left( {O'} \right)\) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C.
a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.
b) Cho biết \(R = 3cm\), \(R' = 1cm\) và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh tam giác AOB cân tại O nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\).
+ Tam giác AOB có:
\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{O_1}} + \widehat {{B_1}} = 2\widehat {{A_1}} + \widehat {{O_1}} = {180^o}\) nên \(2\widehat {{A_1}} = {180^o} - \widehat {{O_1}}\).
+ Chứng minh tam giác AO’C cân tại O’. Do đó, \(\widehat {{A_2}} = \widehat {O'CA}\).
+ Tam giác AO’C có:
\(\widehat {{A_2}} + \widehat {O{'_1}} + \widehat {O'CA} = 2\widehat {{A_2}} + \widehat {O{'_1}} = {180^o}\) nên \(2\widehat {{A_2}} = {180^o} - \widehat {O{'_1}}\).
+ Do đó:
\(2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^o} - \left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {O{'_1}}} \right)\) (1)
Chứng minh
\(\widehat {{O_2}} = \widehat {O{'_1}}\), \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_1}} = {180^o}\) nên \(\widehat {{O_1}} + \widehat {O{'_1}} = {180^o}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^o} - {180^o} = {180^o}\) nên \(\widehat {BAC} = {90^o}\).
b) + Ta có: \(OA = OB = R = 3cm,O'A = O'C = R' = 1cm\).
+ Chứng minh \(\frac{{DO}}{{DO'}} = \frac{{OB}}{{O'C}} = \frac{3}{1}\)
+ \(DO' = DO - OO' = DO - \left( {OA + O'A} \right)\) \( = DO - \left( {3 + 1} \right) = DO - 4\) (4)
+ Do đó, \(\frac{{DO}}{{DO - 4}} = \frac{3}{1}\), từ đó tính được DO.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(OA = OB\) (bán kính của (O)) nên tam giác AOB cân tại O. Do đó, \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\).
Tam giác AOB có:
\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{O_1}} + \widehat {{B_1}} = 2\widehat {{A_1}} + \widehat {{O_1}} = {180^o}\) nên \(2\widehat {{A_1}} = {180^o} - \widehat {{O_1}}\).
Vì \(O'A = O'C\) (bán kính của (O’)) nên tam giác AO’C cân tại O’. Do đó, \(\widehat {{A_2}} = \widehat {O'CA}\).
Tam giác AO’C có:
\(\widehat {{A_2}} + \widehat {O{'_1}} + \widehat {O'CA} = 2\widehat {{A_2}} + \widehat {O{'_1}} = {180^o}\) nên \(2\widehat {{A_2}} = {180^o} - \widehat {O{'_1}}\).
Do đó:
\(2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^o} - \left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {O{'_1}}} \right)\) (1)
Vì OB//O’C nên \(\widehat {{O_2}} = \widehat {O{'_1}}\) (hai góc đồng vị).
Lại có: \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_1}} = {180^o}\) nên \(\widehat {{O_1}} + \widehat {O{'_1}} = {180^o}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có:
\(2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^o} - {180^o} = {180^o}\) nên \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^o}\), suy ra \(\widehat {BAC} = {90^o}\).
b) Ta có: \(OA = OB = R = 3cm,O'A = O'C = R' = 1cm\).
Tam giác DOB có O’C//OB nên
\(\frac{{DO}}{{DO'}} = \frac{{OB}}{{O'C}} = \frac{3}{1}\) (3)
Lại có:
\(DO' = DO - OO' = DO - \left( {OA + O'A} \right) \\= DO - \left( {3 + 1} \right) = DO - 4 \;(4)\)
Từ (3) và (4) ta có:
\(\frac{{DO}}{{DO - 4}} = \frac{3}{1}\), suy ra \(DO = 3\left( {DO - 4} \right)\), hay \(2DO = 12\), suy ra \(DO = 6cm\).
Bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến ứng dụng của hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai trong thực tế. Để giải bài này, trước tiên chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm cơ bản về hàm số, bao gồm:
Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán có nội dung cụ thể về một tình huống thực tế, ví dụ: một người nông dân có một mảnh đất hình chữ nhật, muốn rào xung quanh bằng một lượng hàng rào nhất định, hỏi kích thước mảnh đất như thế nào để diện tích lớn nhất). Chúng ta sẽ phân tích bài toán này như sau:
Trong bài toán này, chúng ta cần xác định các yếu tố sau:
Dựa vào các yếu tố đã xác định, chúng ta lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các biến và hằng số. Ví dụ, nếu gọi chiều dài mảnh đất là x và chiều rộng là y, thì chu vi mảnh đất là 2(x + y) và diện tích mảnh đất là xy.
Nếu tổng chiều dài hàng rào là P, thì ta có phương trình: 2(x + y) = P. Từ đó, ta có thể biểu diễn y theo x: y = (P/2) - x.
Đại lượng cần tìm (ví dụ: diện tích mảnh đất) được biểu diễn theo một biến (ví dụ: x). Trong trường hợp này, diện tích mảnh đất là S = xy = x((P/2) - x) = (P/2)x - x².
Để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đại lượng cần tìm, chúng ta sử dụng các phương pháp sau:
Trong ví dụ này, S = (P/2)x - x² là một hàm số bậc hai với a = -1 < 0. Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = - (P/2) / (2 * -1) = P/4.
Khi x = P/4, ta có y = (P/2) - (P/4) = P/4. Vậy, mảnh đất có diện tích lớn nhất khi chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng P/4.
Dựa vào kết quả đã tìm được, chúng ta đưa ra kết luận về bài toán. Trong ví dụ này, kết luận là: để diện tích mảnh đất lớn nhất, người nông dân cần xây mảnh đất hình vuông có cạnh bằng P/4.
Lưu ý:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ cách giải bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 và tự tin làm các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
