THCS
THCS
Bài 5.31 trang 71 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.31, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng (PO bot AB). b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.
Đề bài
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng \(PO \bot AB\).
b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh \(PA = PB\) và PO là tia phân giác của góc APB.
+ Chứng minh tam giác PAB cân tại P, suy ra PO là đường trung trực của tam giác AP nên \(PO \bot AB\).
b) + Chứng minh C thuộc (O).
+ Chứng minh tam giác ABC vuông tại B. Do đó, \(BA \bot BC\). Mà \(PO \bot AB\)(cmt) nên BC//PO.
c) + Chứng minh \(PA \bot OA\).
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại tính được PA, suy ra, \(PA = PB = 4cm\).
+ Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: \(AH \bot OP\) và \(AB = 2AH\).
+ \(AH.OP = OA.PA\left( { = 2{S_{\Delta AOP}}} \right)\) nên \(AH = \frac{{OA.AP}}{{OP}}\) nên tính được AB.
Lời giải chi tiết
a) Vì PA và PB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của (O) nên \(PA = PB\), PO là tia phân giác của góc APB.
Vì \(PA = PB\) nên tam giác PAB cân tại P. Do đó, PO là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác ABP. Suy ra: \(PO \bot AB\).
b) Vì C là điểm đối xứng với A qua O nên \(OA = OC\). Do đó, C thuộc (O).
Vì \(OB = OC = OA = \frac{1}{2}AC\) nên tam giác BAC có trung tuyến BO có độ dài bằng nửa độ dài cạnh AC nên tam giác ABC vuông tại B. Do đó, \(BA \bot BC\). Mà \(PO \bot AB\)(cmt) nên BC//PO.
c) Vì PA tiếp xúc với (O) tại A nên \(PA \bot OA\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại A có: \(O{A^2} + A{P^2} = O{P^2}\) nên \(PA = \sqrt {O{P^2} - O{A^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\left( {cm} \right)\)
Do đó, \(PA = PB = 4cm\)
Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: \(AH \bot OP\) và \(AB = 2AH\).
Ta có: \(AH.OP = OA.PA\left( { = 2{S_{\Delta AOP}}} \right)\) nên \(AH = \frac{{OA.AP}}{{OP}} = \frac{{3.4}}{5} = 2,4\left( {cm} \right)\).
Do đó, \(AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8\left( {cm} \right)\).
Bài 5.31 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài 5.31:
Một người nông dân có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài lớn hơn chiều rộng là 10m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài đi 2m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất.
Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất là x (m) (x > 0). Khi đó, chiều dài ban đầu của mảnh đất là x + 10 (m).
Diện tích ban đầu của mảnh đất là x(x + 10) (m2).
Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài đi 2m thì chiều rộng mới là x + 5 (m) và chiều dài mới là x + 10 - 2 = x + 8 (m).
Diện tích mới của mảnh đất là (x + 5)(x + 8) (m2).
Vì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:
x(x + 10) = (x + 5)(x + 8)
Giải phương trình:
x2 + 10x = x2 + 13x + 40
-3x = 40
x = -40/3
Vì x > 0 nên phương trình trên vô nghiệm. Kiểm tra lại đề bài và cách giải.
(Lưu ý: Đề bài có thể có sai sót. Ví dụ, nếu đề bài là giảm chiều dài đi 5m và tăng chiều rộng thêm 2m thì sẽ có nghiệm.)
Giả sử đề bài đúng như trên, ta cần xem xét lại cách tiếp cận. Có thể bài toán không có nghiệm thực tế, hoặc có lỗi trong quá trình lập phương trình.
Nếu đề bài là: Một người nông dân có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài lớn hơn chiều rộng là 10m. Nếu giảm chiều dài đi 5m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất.
Lời giải:
Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất là x (m) (x > 0). Khi đó, chiều dài ban đầu của mảnh đất là x + 10 (m).
Diện tích ban đầu của mảnh đất là x(x + 10) (m2).
Nếu giảm chiều dài đi 5m và tăng chiều rộng thêm 2m thì chiều rộng mới là x + 2 (m) và chiều dài mới là x + 10 - 5 = x + 5 (m).
Diện tích mới của mảnh đất là (x + 2)(x + 5) (m2).
Vì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:
x(x + 10) = (x + 2)(x + 5)
Giải phương trình:
x2 + 10x = x2 + 7x + 10
3x = 10
x = 10/3
Vậy chiều rộng ban đầu của mảnh đất là 10/3 (m) và chiều dài ban đầu của mảnh đất là 10/3 + 10 = 40/3 (m).
Bài 5.31 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số và phương trình để giải quyết bài toán thực tế. Việc hiểu rõ các khái niệm và kỹ năng giải toán là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 5.31 và tự tin hơn trong quá trình học tập.
