Lý thuyết Định lí Viète Toán 9 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Định lí Viète Toán 9 Chân trời sáng tạo
Định lí Viète là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán 9, đặc biệt trong sách Chân trời sáng tạo. Nắm vững định lí này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một cách hiệu quả.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể nắm vững lý thuyết và áp dụng thành thạo vào giải bài tập.
1. Định lí Viète Định lí Viète Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì tổng và tích của hai nghiệm đó là \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)
1. Định lí Viète
Định lí Viète
Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì tổng và tích của hai nghiệm đó là \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Lý thuyết Định lí Viète Toán 9 Chân trời sáng tạo
Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ trong việc tìm hiểu mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình đó. Trong chương trình Toán 9 Chân trời sáng tạo, định lí này được trình bày một cách rõ ràng và dễ tiếp cận, giúp học sinh hiểu rõ bản chất và ứng dụng của nó.
1. Phát biểu Định lí Viète
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thì:
- Tổng hai nghiệm: x1 + x2 = -b/a
- Tích hai nghiệm: x1.x2 = c/a
Đây là hai công thức quan trọng cần ghi nhớ khi làm việc với phương trình bậc hai.
2. Ứng dụng của Định lí Viète
Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, bao gồm:
- Tìm tổng và tích của các nghiệm: Khi biết các hệ số a, b, c của phương trình, ta có thể dễ dàng tính được tổng và tích của các nghiệm mà không cần phải giải phương trình.
- Kiểm tra nghiệm của phương trình: Nếu ta có hai số x1 và x2, ta có thể sử dụng Định lí Viète để kiểm tra xem chúng có phải là nghiệm của phương trình hay không.
- Tìm hệ số của phương trình khi biết các nghiệm: Ngược lại, nếu ta biết các nghiệm x1 và x2, ta có thể tìm được các hệ số a, b, c của phương trình.
- Giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: Định lí Viète thường được sử dụng để giải các bài toán phức tạp hơn, chẳng hạn như tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, tìm giá trị của một biểu thức chứa các nghiệm, v.v.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.
Giải:
Ta có a = 1, b = -5, c = 6. Theo Định lí Viète, ta có:
- x1 + x2 = -(-5)/1 = 5
- x1.x2 = 6/1 = 6
Vậy tổng hai nghiệm là 5 và tích hai nghiệm là 6.
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 + 3x - 5 = 0. Nếu phương trình có hai nghiệm x1 và x2, hãy tính giá trị của biểu thức x12 + x22.
Giải:
Ta có a = 2, b = 3, c = -5. Theo Định lí Viète, ta có:
- x1 + x2 = -3/2
- x1.x2 = -5/2
Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = (-3/2)2 - 2(-5/2) = 9/4 + 5 = 29/4
Vậy giá trị của biểu thức x12 + x22 là 29/4.
4. Lưu ý quan trọng
Định lí Viète chỉ áp dụng cho phương trình bậc hai có hai nghiệm. Nếu phương trình không có nghiệm hoặc có nghiệm kép, thì Định lí Viète không còn đúng.
Khi sử dụng Định lí Viète, cần chú ý đến dấu của các hệ số a, b, c để tính toán chính xác tổng và tích của các nghiệm.
5. Bài tập luyện tập
- Cho phương trình x2 - 7x + 12 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.
- Cho phương trình 3x2 + 5x - 2 = 0. Nếu phương trình có hai nghiệm x1 và x2, hãy tính giá trị của biểu thức x13 + x23.
- Tìm giá trị của m để phương trình x2 - 2mx + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn x1 + x2 = 4.
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Lý thuyết Định lí Viète Toán 9 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải bài tập.
