THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán 9 Chân trời sáng tạo. Đây là một trong những kiến thức quan trọng giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những khái niệm cơ bản, các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể. Chúng tôi tin rằng, với sự hướng dẫn chi tiết và bài tập thực hành phong phú, bạn sẽ dễ dàng nắm vững kiến thức này.
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng (ax + by = c), trong đó a, b và c là các số đã biết (gọi là hệ số), (a ne 0) hoặc (b ne 0).
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng \(ax + by = c\), trong đó a, b và c là các số đã biết (gọi là hệ số), \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\). |
Ví dụ: \(2x + 3y = 4\), \(0x + 2y = 3\), \(x + 0y = 2\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Nếu giá trị của vế trái tại \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) bằng vế phải thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. |
Ví dụ: Cặp số \(( - 1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì \(2.\left( { - 1} \right) + 3.2 = - 2 + 6 = 4\).
Cặp số \((1;2)\) không là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì
\(2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \ne 4\).
Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
- Mỗi nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của phương trình \(ax + by = c\) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn luôn có vô số nghiệm. Tất cả các nghiệm của phương trình đó được biểu diễn bởi một đường thẳng.
Ví dụ:
Nghiệm của phương trình \( - 3x + y = 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = 3x + 2\).
Nghiệm của phương trình \(0x + y = - 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = - 2\) vuông góc với Oy tại điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\).
Nghiệm của phương trình \(2x + 0y = 3\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(x = 1,5\) vuông góc với Ox tại điểm \(N\left( {1,5;0} \right)\).
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,(2)\end{array} \right.\,\,\,\) Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số đã biết (gọi là hệ số), \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\), \(a' \ne 0\) hoặc \(b' \ne 0\). |
Ví dụ: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 3\\3y = 6\end{array} \right.\) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó. |
Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), vì:
\(2x - y = 2.1 - 2 = 0\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.
\(x + y = 1 + 2 = 3\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0. Việc hiểu rõ dạng phương trình này là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán liên quan.
Một phương trình bậc nhất hai ẩn là một đẳng thức chứa hai biến, mỗi biến có bậc nhất. Ví dụ: 2x + 3y = 5 là một phương trình bậc nhất hai ẩn. Nghiệm của phương trình là các giá trị của x và y thỏa mãn phương trình.
Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn một biến theo biến còn lại. Ví dụ, từ phương trình 2x + 3y = 5, ta có thể biểu diễn x theo y như sau: x = (5 - 3y) / 2. Sau đó, ta có thể chọn các giá trị khác nhau của y để tìm các giá trị tương ứng của x.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ:
Nghiệm của hệ phương trình là các giá trị của x và y thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ.
Có nhiều phương pháp để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong đó phổ biến nhất là:
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
Từ phương trình thứ nhất, ta có x = 5 - 2y. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
3(5 - 2y) - y = 1
15 - 6y - y = 1
-7y = -14
y = 2
Thay y = 2 vào x = 5 - 2y, ta được x = 5 - 2(2) = 1. Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 1, y = 2.
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
Cộng hai phương trình, ta được:
(2x + y) + (x - y) = 7 + (-1)
3x = 6
x = 2
Thay x = 2 vào phương trình thứ hai, ta được:
2 - y = -1
y = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 2, y = 3.
Các kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, như:
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Chúc bạn học tốt!
