THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong chương trình Toán 9 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về các tỉ số lượng giác, cách tính toán và ứng dụng của chúng trong giải toán.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các công thức và các bài tập ví dụ minh họa để bạn có thể hiểu rõ và áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc nhọn \({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\). \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \).
1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc nhọn
\({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\).
|
Tip học thuộc nhanh:
Sin đi học Cos không hư Tan đoàn kết Cotan kết đoàn |
Chú ý: Với góc nhọn \(\alpha \), ta có:
\(0 < \sin \alpha < 1\); \(0 < \cos \alpha < 1\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\).
Ví dụ:
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:
\(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
Bảng giá trị lượng giác của các góc nhọn đặc biệt
Ví dụ: \(P = \frac{{\sin {{30}^0}.\cos {{60}^0}}}{{\tan {{45}^0}}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}}{1} = \frac{1}{4}\).
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtang góc kia. \(\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha ;}&{\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;}\\{\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cot \alpha ;}&{\cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \tan \alpha .}\end{array}\) |
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\sin {60^0} = \cos \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right) = \cos {30^0};\\\cos {52^0}30' = \sin \left( {{{90}^0} - {{52}^0}30'} \right) = \sin {37^0}30';\\\tan {80^0} = \cot \left( {{{90}^0} - {{80}^0}} \right) = \cot {10^0};\\\cot {82^0} = \tan \left( {{{90}^0} - {{82}^0}} \right) = \tan {8^0}.\end{array}\)
3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Người ta thường dùng các đơn vị số đo góc là độ (kí hiệu: \(^0\)), phút (kí hiệu: \('\)), giây (kí hiệu: \(''\)).
Ta có thể sử dụng nhiều loại máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của nó.
Lưu ý: ta cần đổi đơn vị đo về độ.
Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn
Để tính tỉ số lượng giác của một góc \(\alpha \), ta dùng các nút:
Để tính \(\cot \alpha \), ta tính \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\) hoặc \(\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\).
Bảng tóm tắt cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Xác định số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó
Bảng tóm tắt cách tính số đo của một góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác
Để tìm \(\alpha \) khi biết \(\cot \alpha \), ta tính \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) và dùng \(\tan \alpha \) để tính \(\alpha \).
Một số công thức mở rộng:
+) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
+) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
+) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
+) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\cot ^2}\alpha + 1\)
Trong chương trình Toán 9, chương Tỉ số lượng giác của góc nhọn đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho các kiến thức hình học và lượng giác nâng cao hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, công thức và các bài tập minh họa theo chương trình Chân trời sáng tạo, giúp học sinh nắm vững kiến thức một cách dễ dàng.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi AB = c, AC = b, BC = a. Ta định nghĩa:
Tương tự, ta có thể định nghĩa các tỉ số lượng giác cho góc C.
Các góc đặc biệt thường gặp là 30°, 45°, 60°. Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của các góc này:
| Góc | Sin | Cos | Tan | Cot |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
Các tỉ số lượng giác có mối quan hệ mật thiết với nhau, được thể hiện qua các công thức sau:
Tỉ số lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông, đặc biệt là trong các bài toán về chiều cao, khoảng cách và góc.
Ví dụ: Tính chiều cao của một ngọn cây biết góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 60° và bóng của ngọn cây dài 5m.
Giải:
Gọi h là chiều cao của ngọn cây. Ta có: tan 60° = h/5 => h = 5 * tan 60° = 5√3 (m)
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính sin B, cos B, tan B, cot B.
Bài 2: Cho góc α = 45°. Tính sin α, cos α, tan α, cot α.
Bài 3: Một người đứng ở một vị trí cách chân cột điện 10m, nhìn lên đỉnh cột điện với góc nâng 30°. Tính chiều cao của cột điện (giả sử chiều cao của người đó không đáng kể).
Khi giải các bài toán về tỉ số lượng giác, cần chú ý:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
