THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 8. Mục 2 trong SGK Toán 8 thường chứa các bài tập về các kiến thức quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc và kỹ năng vận dụng linh hoạt.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự giải bài tập đôi khi gặp khó khăn, vì vậy chúng tôi đã biên soạn bộ giải đáp này để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho
Tính:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2}\);
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2} = {a^2} + 2.a.4 + {4^2} = {a^2} + 8a + 16\)
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2} = {\left( {2u} \right)^2} + 2.2u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 4{u^2} + 20uv + 25{v^2}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right)\)
2. Hãy cho biết: \({\left( {a + b} \right)^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = aa + ab + ab + bb = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a) \(16{a^2} + 8a + 1\);
b) \({x^2} + 25{y^2} + 10xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để phân tích biểu thức và viết lại dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(16{a^2} + 8a + 1 = {\left( {4a} \right)^2} + 2.4a.1 + {1^2} = {\left( {4a + 1} \right)^2}\)
b) Ta có\({x^2} + 25{y^2} + 10xy = {x^2} + 2.x.5y + {\left( {5y} \right)^2} = {\left( {x + 5y} \right)^2}\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết \({\left( {a - b} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab - ab + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a - b} \right)^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Tính:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2}\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2} = {\left( {3a} \right)^2} - 2.3a.1 + {1^2} = 9{a^2} - 6a + 1\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2} = {\left( {4u} \right)^2} - 2.4u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 16{u^2} - 40uv + 25{v^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
a) \({a^2} - 12a + 36\);
b) \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để viết lại biểu thức dưới dạng bình phương của một hiệu.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \({a^2} - 12a + 36 = {a^2} - 2.a.6 + {6^2} = {\left( {a - 6} \right)^2}\);
b) Ta có \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy = {\left( {5x} \right)^2} - 2.5x.8y + {\left( {8y} \right)^2} = {\left( {5x - 8y} \right)^2}\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết: \({a^2} - {b^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) + b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab + ab - {b^2} = {a^2} - {b^2}\)
2. Vậy \({a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\)
Tính:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)\)
b)\(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right) = {\left( {2a} \right)^2} - {1^2} = 4{a^2} - 1\)
b) \(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right) = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = 4{x^2} - 25{y^2}\)
Tính nhanh:
a) \(49.51\)
b) \({32^2} - 128 + 4\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính một cách nhanh nhất
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy \(49.51 = \left( {50 - 1} \right)\left( {50 + 1} \right) = {50^2} - {1^2} = 2500 - 1 = 2499\)
b) \({32^2} - 128 + 4 = {32^2} - 144 = {32^2} - {12^2} = \left( {32 - 12} \right)\left( {32 + 12} \right) = 20.44 = 880\)
Cho \(a\) và \(b\)là hai số thực bất kì:
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng kết hợp với nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép tính.
2. Dựa vào kết quả của ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + 2{a^2}b + 2a{b^2} + a{b^2} + {b^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
Tính:
a)\({\left( {2a + 3} \right)^3}\)
b)\({\left( {u + 4v} \right)^3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {2a + 3} \right)^3} = {\left( {2a} \right)^3} + 3.{\left( {2a} \right)^2}.3 + 3.2a{.3^2} + {3^3} = 8{a^3} + 36{a^2} + 54a + 27\)
b) \({\left( {u + 4v} \right)^3} = {u^3} + 3.{u^2}.4v + 3.u.{\left( {4v} \right)^2} + {\left( {4v} \right)^3} = {u^3} + 12{u^2}v + 48u{v^2} + 64{v^3}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \({\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3}\).
2. Hãy cho biết: \({\left( {a - b} \right)^3} = ?\).
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức kết hợp với sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3} = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a - b} \right) = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)\\ = {a^3} - 2{a^2}b + a{b^2} + 2a{b^2} - {a^2}b - {b^3}\\ = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\end{array}\)
2. \({\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}.\)
Tính:
a) \({\left( {a - 3} \right)^3};\)
b) \({\left( {3u - 4v} \right)^3}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^3} = {a^3} - 3.{a^2}.3 + 3.a{.3^2} - {3^3}\\ = {a^3} - 9{a^2} + 27a - 27\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {3u - 4v} \right)^3} = {\left( {3u} \right)^3} - 3.{\left( {3u} \right)^2}.4v + 3.3u.{\left( {4v} \right)^2} - {\left( {4v} \right)^2}\\ = 27{u^3} - 108{u^2}v + 144u{v^2} - 64{v^3}\end{array}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\)
2. Hãy cho biết \({a^3} + {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có:
\(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} - {a^2}b + a{b^2} + {a^2}b - a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3}.\)
2. \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
a) Viết \(8{a^3} + 27\) dưới dạng tích.
b) Viết \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\) dưới dạng tổng.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(8{a^3} + 27 = {\left( {2a} \right)^3} + {3^3} = \left( {2a + 3} \right)\left( {4{a^2} - 6a + 9} \right)\)
b) \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) = {x^3} + 27\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
a) Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
b) \({a^3} - {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + a{b^2} - {a^2}b - a{b^2} - {b^3} = {a^3} - {b^3}.\)
2. \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
a) Tính \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right).\)
b) Viết \(64{x^3} - 27{y^3}\) dưới dạng tích.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right) = {a^3} - {4^3} = {a^3} - 64\)
b) \(64{x^3} - 27{y^3} = {\left( {4x} \right)^3} - {\left( {3y} \right)^3} = \left( {4x - 3y} \right)\left( {16{x^2} - 12xy + 9{y^2}} \right)\)
Một người dùng các thanh kim loại để thiết kế một khung ảnh gồm hai hình vuông lồng vào nhau như Hình 1.10, trong đó ảnh được gắn vào hình vuông nhỏ. Biết rằng tổng chiều dài của các thanh kim loại để làm khung là \(168\,\,cm\) và diện tích phần không gắn ảnh( phần tô màu) là \(252\,\,c{m^2}\). Tính diện tích của phần được gắn ảnh.
Phương pháp giải:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là\(a\) và \(b\)như hình vẽ
Viết biểu thức biểu diễn tổng chiều dài của các thanh kim loại.
Viết biểu thức biểu diễn diện tích phần không gắn ảnh.
Áp dụng các kiến thức đã học để tính diện tích phần tô màu.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là \(a\) và \(b\)như hình vẽ \(\left( {cm,a > b > 0} \right)\)
Theo đề bài tổng độ dài của các thanh kim loại là \(168cm\)nên ta có: \(4a + 4b = 168 \Rightarrow a + b = 42\)(1)
Diện tích phần không gắn ảnh là hiệu diện tích của hình vuông lớn và hình vuông nhỏ và bằng \(252c{m^2}\)nên ta có: \({a^2} - {b^2} = 252 \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow 42.\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow a - b = 6\)
\( \Rightarrow a = 6 + b\)Thay vào (1) ta có: \(6 + b + b = 42 \Rightarrow 2b = 36 \Rightarrow b = 18 \Rightarrow a = 24\)
Diện tích phần không gắn ảnh là: \(4.\frac{1}{2}ab = 2ab\)\(c{m^2}\)
Có \(2ab = 252\) nên \(ab = 126 \Rightarrow a = \frac{{126}}{b}\)
Thay \(a = \frac{{126}}{b}\)vào (1) ta được \(\begin{array}{l}4.\frac{{126}}{b} + 4b + {\left( {\frac{{126}}{b}} \right)^2} - {b^2} = 168\\ \Rightarrow 504 + 4{b^2} + {126^2} - {b^3}\end{array}\)
Diện tích của phần được gắn ảnh là:
Trong Hình 1.9, diện tích của hình vuông là \(9m - 42m + 49\), với \(m > 3\).
a) Tìm độ dài cạnh hình vuông theo \(m\). Từ đó biểu diễn \(s\)theo \(m\).
b) Tính diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 theo \(m\).
Phương pháp giải:
a) Viết lại biểu thức biểu diễn diện tích hình vuông dưới dạng bình phương của một hiệu. Từ đó suy ra độ dài cạnh của hình vuông đó
b) Viết biểu thức tính diện tích hình chữ nhật theo công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(m > 3\)ta có
\(9{m^2} - 42m + 49 = {\left( {3m} \right)^2} - 2.3m.7 + {7^2} = {\left( {3m - 7} \right)^2}\)
Vậy độ dài cạnh hình vuông là \(3m - 7\)
Vậy \(s = 3m - 7\)
b) Diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là:
\(\left( {s + 3} \right).\frac{1}{2}s = \left( {3m - 7 + 3} \right).\frac{1}{2}\left( {3m - 7} \right) = \frac{1}{2}\left( {3m - 4} \right)\left( {3m - 7} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 21m - 12m + 28} \right) = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 33m + 28} \right) = \frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\)
Vậy diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là \(\frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right)\)
2. Hãy cho biết: \({\left( {a + b} \right)^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = aa + ab + ab + bb = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
Tính:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2}\);
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2} = {a^2} + 2.a.4 + {4^2} = {a^2} + 8a + 16\)
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2} = {\left( {2u} \right)^2} + 2.2u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 4{u^2} + 20uv + 25{v^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a) \(16{a^2} + 8a + 1\);
b) \({x^2} + 25{y^2} + 10xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để phân tích biểu thức và viết lại dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(16{a^2} + 8a + 1 = {\left( {4a} \right)^2} + 2.4a.1 + {1^2} = {\left( {4a + 1} \right)^2}\)
b) Ta có\({x^2} + 25{y^2} + 10xy = {x^2} + 2.x.5y + {\left( {5y} \right)^2} = {\left( {x + 5y} \right)^2}\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết \({\left( {a - b} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab - ab + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a - b} \right)^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Tính:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2}\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2} = {\left( {3a} \right)^2} - 2.3a.1 + {1^2} = 9{a^2} - 6a + 1\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2} = {\left( {4u} \right)^2} - 2.4u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 16{u^2} - 40uv + 25{v^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
a) \({a^2} - 12a + 36\);
b) \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để viết lại biểu thức dưới dạng bình phương của một hiệu.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \({a^2} - 12a + 36 = {a^2} - 2.a.6 + {6^2} = {\left( {a - 6} \right)^2}\);
b) Ta có \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy = {\left( {5x} \right)^2} - 2.5x.8y + {\left( {8y} \right)^2} = {\left( {5x - 8y} \right)^2}\).
Trong Hình 1.9, diện tích của hình vuông là \(9m - 42m + 49\), với \(m > 3\).
a) Tìm độ dài cạnh hình vuông theo \(m\). Từ đó biểu diễn \(s\)theo \(m\).
b) Tính diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 theo \(m\).
Phương pháp giải:
a) Viết lại biểu thức biểu diễn diện tích hình vuông dưới dạng bình phương của một hiệu. Từ đó suy ra độ dài cạnh của hình vuông đó
b) Viết biểu thức tính diện tích hình chữ nhật theo công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(m > 3\)ta có
\(9{m^2} - 42m + 49 = {\left( {3m} \right)^2} - 2.3m.7 + {7^2} = {\left( {3m - 7} \right)^2}\)
Vậy độ dài cạnh hình vuông là \(3m - 7\)
Vậy \(s = 3m - 7\)
b) Diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là:
\(\left( {s + 3} \right).\frac{1}{2}s = \left( {3m - 7 + 3} \right).\frac{1}{2}\left( {3m - 7} \right) = \frac{1}{2}\left( {3m - 4} \right)\left( {3m - 7} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 21m - 12m + 28} \right) = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 33m + 28} \right) = \frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\)
Vậy diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là \(\frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết: \({a^2} - {b^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) + b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab + ab - {b^2} = {a^2} - {b^2}\)
2. Vậy \({a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\)
Tính:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)\)
b)\(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right) = {\left( {2a} \right)^2} - {1^2} = 4{a^2} - 1\)
b) \(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right) = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = 4{x^2} - 25{y^2}\)
Tính nhanh:
a) \(49.51\)
b) \({32^2} - 128 + 4\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính một cách nhanh nhất
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy \(49.51 = \left( {50 - 1} \right)\left( {50 + 1} \right) = {50^2} - {1^2} = 2500 - 1 = 2499\)
b) \({32^2} - 128 + 4 = {32^2} - 144 = {32^2} - {12^2} = \left( {32 - 12} \right)\left( {32 + 12} \right) = 20.44 = 880\)
Một người dùng các thanh kim loại để thiết kế một khung ảnh gồm hai hình vuông lồng vào nhau như Hình 1.10, trong đó ảnh được gắn vào hình vuông nhỏ. Biết rằng tổng chiều dài của các thanh kim loại để làm khung là \(168\,\,cm\) và diện tích phần không gắn ảnh( phần tô màu) là \(252\,\,c{m^2}\). Tính diện tích của phần được gắn ảnh.
Phương pháp giải:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là\(a\) và \(b\)như hình vẽ
Viết biểu thức biểu diễn tổng chiều dài của các thanh kim loại.
Viết biểu thức biểu diễn diện tích phần không gắn ảnh.
Áp dụng các kiến thức đã học để tính diện tích phần tô màu.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là \(a\) và \(b\)như hình vẽ \(\left( {cm,a > b > 0} \right)\)
Theo đề bài tổng độ dài của các thanh kim loại là \(168cm\)nên ta có: \(4a + 4b = 168 \Rightarrow a + b = 42\)(1)
Diện tích phần không gắn ảnh là hiệu diện tích của hình vuông lớn và hình vuông nhỏ và bằng \(252c{m^2}\)nên ta có: \({a^2} - {b^2} = 252 \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow 42.\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow a - b = 6\)
\( \Rightarrow a = 6 + b\)Thay vào (1) ta có: \(6 + b + b = 42 \Rightarrow 2b = 36 \Rightarrow b = 18 \Rightarrow a = 24\)
Diện tích phần không gắn ảnh là: \(4.\frac{1}{2}ab = 2ab\)\(c{m^2}\)
Có \(2ab = 252\) nên \(ab = 126 \Rightarrow a = \frac{{126}}{b}\)
Thay \(a = \frac{{126}}{b}\)vào (1) ta được \(\begin{array}{l}4.\frac{{126}}{b} + 4b + {\left( {\frac{{126}}{b}} \right)^2} - {b^2} = 168\\ \Rightarrow 504 + 4{b^2} + {126^2} - {b^3}\end{array}\)
Diện tích của phần được gắn ảnh là:
Cho \(a\) và \(b\)là hai số thực bất kì:
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng kết hợp với nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép tính.
2. Dựa vào kết quả của ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + 2{a^2}b + 2a{b^2} + a{b^2} + {b^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
Tính:
a)\({\left( {2a + 3} \right)^3}\)
b)\({\left( {u + 4v} \right)^3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {2a + 3} \right)^3} = {\left( {2a} \right)^3} + 3.{\left( {2a} \right)^2}.3 + 3.2a{.3^2} + {3^3} = 8{a^3} + 36{a^2} + 54a + 27\)
b) \({\left( {u + 4v} \right)^3} = {u^3} + 3.{u^2}.4v + 3.u.{\left( {4v} \right)^2} + {\left( {4v} \right)^3} = {u^3} + 12{u^2}v + 48u{v^2} + 64{v^3}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \({\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3}\).
2. Hãy cho biết: \({\left( {a - b} \right)^3} = ?\).
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức kết hợp với sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3} = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a - b} \right) = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)\\ = {a^3} - 2{a^2}b + a{b^2} + 2a{b^2} - {a^2}b - {b^3}\\ = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\end{array}\)
2. \({\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}.\)
Tính:
a) \({\left( {a - 3} \right)^3};\)
b) \({\left( {3u - 4v} \right)^3}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^3} = {a^3} - 3.{a^2}.3 + 3.a{.3^2} - {3^3}\\ = {a^3} - 9{a^2} + 27a - 27\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {3u - 4v} \right)^3} = {\left( {3u} \right)^3} - 3.{\left( {3u} \right)^2}.4v + 3.3u.{\left( {4v} \right)^2} - {\left( {4v} \right)^2}\\ = 27{u^3} - 108{u^2}v + 144u{v^2} - 64{v^3}\end{array}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\)
2. Hãy cho biết \({a^3} + {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có:
\(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} - {a^2}b + a{b^2} + {a^2}b - a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3}.\)
2. \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
a) Viết \(8{a^3} + 27\) dưới dạng tích.
b) Viết \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\) dưới dạng tổng.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(8{a^3} + 27 = {\left( {2a} \right)^3} + {3^3} = \left( {2a + 3} \right)\left( {4{a^2} - 6a + 9} \right)\)
b) \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) = {x^3} + 27\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
a) Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
b) \({a^3} - {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + a{b^2} - {a^2}b - a{b^2} - {b^3} = {a^3} - {b^3}.\)
2. \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
a) Tính \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right).\)
b) Viết \(64{x^3} - 27{y^3}\) dưới dạng tích.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right) = {a^3} - {4^3} = {a^3} - 64\)
b) \(64{x^3} - 27{y^3} = {\left( {4x} \right)^3} - {\left( {3y} \right)^3} = \left( {4x - 3y} \right)\left( {16{x^2} - 12xy + 9{y^2}} \right)\)
Mục 2 của sách giáo khoa Toán 8 thường tập trung vào các chủ đề như phân tích đa thức thành nhân tử, các phương pháp phân tích đa thức, và ứng dụng của việc phân tích đa thức trong giải toán. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán ở các lớp trên.
Các bài tập trên trang 19 thường yêu cầu học sinh áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp này dựa trên việc tìm ra nhân tử chung của tất cả các hạng tử trong đa thức, sau đó đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
Trang 20 giới thiệu các bài tập áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Các hằng đẳng thức thường được sử dụng bao gồm:
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 4 thành nhân tử.
Giải: Áp dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a + b)(a - b) với a = x và b = 2, ta có x2 - 4 = (x + 2)(x - 2).
Các trang 21, 22, 23 và 24 chứa các bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức khác nhau. Một số bài tập có thể yêu cầu học sinh sử dụng phương pháp nhóm, phương pháp tách hạng tử, hoặc kết hợp các hằng đẳng thức để tìm ra lời giải.
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 + 5x + 6 thành nhân tử.
Giải: Ta có thể tách hạng tử 5x thành 2x + 3x, sau đó áp dụng phương pháp nhóm:
x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3).
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học, bao gồm:
Hy vọng rằng bộ giải đáp này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài tập trong mục 2 của SGK Toán 8 và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc bạn học tốt!
