THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 32 trang 93 Sách bài tập Toán 9 - Cánh Diều tập 2. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 9 hiện hành.
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho MA = (Rsqrt 3 ) a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB. b) Tính chu vi tam giác MAB. c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề bài
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho MA = \(R\sqrt 3 \)
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
b) Tính chu vi tam giác MAB.
c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tam giác MAB là tam giác đều suy ra tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
Sử dụng bất đẳng thức Cosi: a2 + b2\( \ge \) 2ab (Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b).
Lời giải chi tiết
a) Ta có MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại A và B nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB.
Xét ∆OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:
\(O{M^2} = M{A^2} + O{A^2} = {\left( {R\sqrt 3 } \right)^2} + {R^2} = 4{R^2}\)
Suy ra OM = 2R.
Gọi I là giao điểm của (O) với tia OM, ta có OI = R nên IM = OM – OI = 2R – R = R.
Do đó, IM = IO = R nên I là trung điểm của OM.
Do ∆OAM vuông tại A nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OAM.
Do ∆OBM vuông tại B nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OBM.
Do đó bốn điểm A, M, B, O cùng nằm trên đường tròn (I) đường kính OM.
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. (1)
Xét ∆OAM vuông tại A, ta có: \(\sin \widehat {AMO} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\widehat {AMO} = {30^o}\).
Do MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra \(\widehat {AMB} = 2\widehat {AMO} = {2.30^o} = {60^o}\)
Vì vậy tam giác AMB là tam giác đều có MA = MB = AB = \(R\sqrt 3 \) (2)
Từ (1), (2) suy ra đường tròn nội tiếp tam giác đều MAB cạnh \(R\sqrt 3 \)có tâm là I và bán kính là \(\frac{{R\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{6} = \frac{R}{2}\).
b) Do tam giác MAB đều cạnh \(R\sqrt 3 \) nên chu vi tam giác MAB bằng \(3R\sqrt 3 \).
c) Ta có \(\widehat {MBO} = \widehat {MBP} + \widehat {PBO} = {90^o}\) suy ra \(\widehat {MBP} = {90^o} - \widehat {PBO}\) (3).
Do ∆OBP cân tại O (do OB = OP) nên ta có:
\(\widehat {PBO} = \widehat {BPO} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {BOP}}}{2} = {90^o} - \frac{1}{2}\widehat {BOP}\).
Xét đường tròn (O) có \(\widehat {BQP},\widehat {BOP}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BP nên \(\widehat {BQP} = \frac{1}{2}\widehat {BOP}\).
Do đó \(\widehat {PBO} = {90^o} - \widehat {BQP}\) hay \(\widehat {BQP} = {90^o} - \widehat {PBO}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {MBP} = \widehat {BQP}\).
Xét ∆MPB và ∆MBQ có:
\(\widehat {MBP} = \widehat {MQB}\)
\(\widehat {BMQ}\) là góc chung
Do đó ∆MPB ᔕ ∆MBQ (g.g).
Suy ra \(\frac{{MB}}{{MQ}} = \frac{{MP}}{{MB}}\) hay MP. MQ = MB2 = \({\left( {R\sqrt 3 } \right)^2} = 3{R^2}\).
Lại có (MQ – MP)2 ≥ 0 hay (MQ + MP)2 ≥ 4MQ.MP
Suy ra (MQ + MP)2 ≥ 4.3R2 = 12R2
Do đó \(MQ + MP \ge \sqrt {12{R^2}} = 2R\sqrt 3 \) (dấu “=” xảy ra khi MQ = MP).
Vậy MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2R\sqrt 3 \), khi đó MP = MQ hay đường thẳng d đi qua M và A hoặc d đi qua M và B.
Bài 32 trang 93 Sách bài tập Toán 9 - Cánh Diều tập 2 thuộc chương trình học về hàm số bậc nhất. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc nhất để giải các bài toán thực tế, cụ thể là xác định hàm số và tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước.
Bài 32 bao gồm các câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi tập trung vào một khía cạnh khác nhau của hàm số bậc nhất. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm sau:
Để giải câu a, ta cần xác định hàm số bậc nhất đi qua hai điểm cho trước. Sử dụng công thức tính hệ số góc và tung độ gốc, ta có thể tìm được phương trình hàm số.
Ví dụ, nếu hai điểm là (x1, y1) và (x2, y2), thì hệ số góc a được tính bằng công thức: a = (y2 - y1) / (x2 - x1). Sau đó, ta có thể sử dụng một trong hai điểm và hệ số góc để tìm tung độ gốc b bằng công thức: b = y1 - ax1.
Câu b thường yêu cầu tính giá trị của hàm số tại một điểm cụ thể. Để làm điều này, ta chỉ cần thay giá trị của x vào công thức hàm số đã tìm được ở câu a và tính giá trị tương ứng của y.
Câu c có thể yêu cầu tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox hoặc trục Oy. Để tìm giao điểm với trục Ox, ta giải phương trình y = 0. Để tìm giao điểm với trục Oy, ta giải phương trình x = 0.
Giả sử bài toán yêu cầu tìm hàm số bậc nhất đi qua hai điểm A(1, 2) và B(3, 6). Ta thực hiện như sau:
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu rõ hơn về hàm số bậc nhất:
Bài 32 trang 93 Sách bài tập Toán 9 - Cánh Diều tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc nhất. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
