THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 41 trang 121 sách bài tập Toán 9 Cánh Diều tập 1 trên website Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Montoan.com.vn là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải, lý thuyết và bài tập Toán 9, Toán 8, Toán 7,...
Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.
Đề bài
Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tính AM và góc AOM.
Bước 2: Tính AB và góc AOB (dựa vào \(\Delta OAM = \Delta OBM\)).
Bước 3: Tính góc MON.
Bước 4: Tính S1 = diện tích quạt tròn AOB – diện tích tam giác OAB.
Bước 5: Tính S2 = diện tích tam giác OAM + diện tích tam giác \(\Delta OAN\) - diện tích quạt tròn OMN.
Bước 5: Tính S1 + S2 rồi so sánh với S3.
Lời giải chi tiết
Vì AB tiếp xúc với (O;R) tại M nên AB là tiếp tuyến của (O;R), do đó \(OC \bot AB\) tại M hay \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = 90^\circ \).
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMO vuông tại M có \(AM = \sqrt {A{O^2} - M{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)
Ta lại có \(\cos \widehat {AOM} = \frac{{OM}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat {AOM} = 60^\circ \).
Xét tam giác OAM và tam giác OBM có:
\(OA = OB\left( { = 2R} \right)\);
OM chung;
\(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = 90^\circ \)
Suy ra \(\Delta OAM = \Delta OBM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó \(AM = BM = \frac{{AB}}{2}\) và \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2}\)
Suy ra \(AB = 2AM = 2R\sqrt 3 \) và \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Do AM, AN là 2 tiếp tuyến của (O;R) nên \(\widehat {AOM} = \widehat {AON} = \frac{{\widehat {MON}}}{2}\) hay \(\widehat {MON} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Xét tam giác OMA và tam giác ONA có:
OA chung;
\(OM = ON\left( { = R} \right)\);
\(AM = AN\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra \(\Delta OAM = \Delta OAN\)(c.c.c), nên \({S_{\Delta OAM}} = {S_{\Delta OAN}}\)
Ta có: S1 = diện tích quạt tròn AOB – diện tích \(\Delta OAB\)
Hay \({S_1} = \frac{{\pi {{\left( {2R} \right)}^2}n}}{{360}} - \frac{{OM.AB}}{2}\)\( = \frac{{\pi 4{R^2}.120}}{{360}} - \frac{{R.2R\sqrt 3 }}{2}\)\( = {R^2}\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right)\)
S2 = diện tích \(\Delta OAM\) + diện tích tam giác \(\Delta OAN\) - diện tích quạt tròn OMN
Hay S2 = 2. diện tích \(\Delta OAM\) - diện tích quạt tròn OMN
Do đó \({S_2} = 2.\frac{{AM.OM}}{2} - \frac{{\pi {R^2}.n}}{{360}}\)\( = 2.\frac{{R\sqrt 3 .R}}{2} - \frac{{\pi {R^2}.120^\circ }}{{360}}\)\( = {R^2}\left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\)
S3 = diện tích hình tròn (O;R) \( = \pi {R^2}\)
Ta có \({S_1} + {S_2} = {R^2}\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right) + {R^2}\left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right) = \pi {R^2} = {S_3}\) (đpcm)
Bài 41 trang 121 sách bài tập Toán 9 Cánh Diều tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc nhất. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bài 41 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Để vẽ đồ thị hàm số y = 2x - 3, ta thực hiện các bước sau:
| x | y |
|---|---|
| 0 | -3 |
| 1 | -1 |
| 2 | 1 |
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là điểm có tung độ y = 0. Thay y = 0 vào phương trình hàm số y = 2x - 3, ta được:
0 = 2x - 3 => 2x = 3 => x = 3/2
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là điểm (3/2; 0).
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là điểm có hoành độ x = 0. Thay x = 0 vào phương trình hàm số y = 2x - 3, ta được:
y = 2(0) - 3 => y = -3
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là điểm (0; -3).
Hàm số y = -x + 5 có dạng y = ax + b. So sánh với dạng tổng quát, ta có:
a = -1 và b = 5
Để kiểm tra xem điểm A(1; 2) có thuộc đồ thị hàm số y = 3x - 1 hay không, ta thay x = 1 và y = 2 vào phương trình hàm số:
2 = 3(1) - 1 => 2 = 3 - 1 => 2 = 2
Vì phương trình đúng, nên điểm A(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = 3x - 1.
Để củng cố kiến thức về hàm số bậc nhất, các em có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Hy vọng bài giải chi tiết bài 41 trang 121 SBT Toán 9 Cánh Diều tập 1 trên Montoan.com.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về hàm số bậc nhất và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tốt!
