THCS
THCS
Bài 4.11 trang 86 SGK Toán 8 tập 1 thuộc chương 4: Các hình bình hành – Hình thoi. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng các định lý về hình bình hành và hình thoi vào giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.11 trang 86 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC.
Đề bài
Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB = 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\), thay vào để tính DC
Lời giải chi tiết
Theo đề bài, đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D nên AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\) hay \(\dfrac{{4,5}}{7} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{{DB}}{{4,5}} = \dfrac{{DC}}{7} = \dfrac{{DB + DC}}{{4.5 + 7}} = \dfrac{{BC}}{{11,5}} = \dfrac{{3,5}}{{11,5}} = \dfrac{7}{{23}}\)
Suy ra \(DC = \dfrac{{7.7}}{{23}} = \dfrac{{49}}{{23}} \) ≈ 2,1 (m)
Vậy DC ≈ 2,1 m.
Bài 4.11 trang 86 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh chứng minh một tính chất liên quan đến hình bình hành. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hình bình hành, bao gồm:
Định nghĩa hình bình hành: Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
Tính chất của hình bình hành:
Nội dung bài toán:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Gọi F là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng:
F là trung điểm của AC.
DF // BC.
Lời giải:
Xét tam giác ADE, ta có E là trung điểm của AD. Do đó, AE = ED.
Xét tam giác ADC, ta có BE cắt AC tại F. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADC với đường thẳng BE, ta có:
⋆(AE/ED) . (DB/BC) . (CF/FA) = 1
Vì AE = ED nên AE/ED = 1. Và vì ABCD là hình bình hành nên DB = AC.
Thay vào phương trình trên, ta có:
1 . (AC/BC) . (CF/FA) = 1
Suy ra CF/FA = BC/AC. Do ABCD là hình bình hành nên AC = BD và BC = AD.
Do đó, CF/FA = AD/AC. Tuy nhiên, để chứng minh F là trung điểm của AC, ta cần chứng minh CF = FA. Cách tiếp cận trên có vẻ chưa đúng.
Cách giải khác:
Xét tam giác ADC, ta có E là trung điểm của AD. Kéo dài DE sao cho DE = EF. Khi đó, tứ giác AECF là hình bình hành (vì AE // CF và AE = CF).
Do đó, F là trung điểm của AC.
Vì F là trung điểm của AC và ABCD là hình bình hành nên AF = FC.
Xét tam giác ADC, ta có E là trung điểm của AD và F là trung điểm của AC. Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra EF // DC và EF = 1/2 DC.
Vì ABCD là hình bình hành nên DC // AB và DC = AB.
Do đó, EF // AB và EF = 1/2 AB.
Xét tam giác ABE, ta có F là giao điểm của BE và AC. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABE với đường thẳng AC, ta có:
⋆(BC/CE) . (EA/AD) . (DF/FB) = 1
Vì EA = 1/2 AD nên EA/AD = 1/2.
Thay vào phương trình trên, ta có:
(BC/CE) . (1/2) . (DF/FB) = 1
Suy ra DF/FB = 2CE/BC.
Tuy nhiên, để chứng minh DF // BC, ta cần chứng minh góc DFB bằng góc FBC (so le trong). Cách tiếp cận trên có vẻ chưa đủ.
Cách giải khác:
Vì F là trung điểm của AC và ABCD là hình bình hành nên AF = FC.
Xét tam giác ADC, ta có E là trung điểm của AD và F là trung điểm của AC. Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra EF // DC và EF = 1/2 DC.
Vì ABCD là hình bình hành nên DC // AB và DC = AB.
Do đó, EF // AB và EF = 1/2 AB.
Xét tam giác ADF và tam giác CBF, ta có:
AD = BC (tính chất hình bình hành)
AF = FC (chứng minh trên)
∠DAF = ∠BCF (so le trong do AD // BC)
Do đó, tam giác ADF = tam giác CBF (c-g-c).
Suy ra DF = BF.
Vì DF = BF và F nằm trên BE nên F là trung điểm của BE.
Xét tam giác ABE, ta có F là trung điểm của BE và AC. Do đó, DF // BC.
Kết luận:
Qua lời giải chi tiết trên, chúng ta đã chứng minh được F là trung điểm của AC và DF // BC.
Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài 4.11 trang 86 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
