Giải bài 7.21 trang 45 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải bài 7.21 trang 45 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu

Bài 7.21 trang 45 SGK Toán 8 tập 2 yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến đường trung bình của tam giác. Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

I. Kiến thức cần nắm vững

• Đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác.
• Tính chất của đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh thứ ba.
• Ứng dụng của đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác được sử dụng để chứng minh các đoạn thẳng song song, các tam giác đồng dạng và giải quyết các bài toán liên quan đến độ dài đoạn thẳng.

II. Đề bài bài 7.21 trang 45 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Gọi G là giao điểm của AN và BM. Chứng minh rằng:

1. AG = 2GN
2. BG = 2GM

III. Lời giải bài 7.21 trang 45 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

a) Chứng minh AG = 2GN

Xét tam giác BGC, ta có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN // AB và MN = \frac{1}{2}AB.

Xét tam giác AGN và tam giác BGM, ta có:

• ∠AGN = ∠BGM (đối đỉnh)
• ∠GAN = ∠GBM (so le trong do MN // AB)

Do đó, tam giác AGN đồng dạng với tam giác BGM (g-g).

Suy ra \frac{AG}{BG} = \frac{GN}{GM} = \frac{AN}{BM}.

Từ \frac{AG}{BG} = \frac{AN}{BM}, ta có AG = \frac{AN}{BM}BG.

Vì N là trung điểm của AC nên AN = \frac{1}{2}AC.

Vì M là trung điểm của BC nên BM = \frac{1}{2}BC.

Do đó, AG = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BC}BG = \frac{AC}{BC}BG.

Tuy nhiên, cách chứng minh này chưa đủ để kết luận AG = 2GN. Chúng ta cần sử dụng một cách tiếp cận khác.

Xét tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Do đó, AG = \frac{2}{3}AN và GN = \frac{1}{3}AN.

Suy ra AG = 2GN.

b) Chứng minh BG = 2GM

Tương tự như trên, xét tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Do đó, BG = \frac{2}{3}BM và GM = \frac{1}{3}BM.

Suy ra BG = 2GM.

IV. Kết luận

Vậy, ta đã chứng minh được AG = 2GN và BG = 2GM.

Bài tập này giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của trọng tâm của tam giác và ứng dụng của đường trung bình của tam giác trong việc giải quyết các bài toán hình học.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập Toán 8.

Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán!