THCS
THCS
Bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 thuộc chương 3: Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía để chứng minh tính chất của các góc.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC.
Đề bài
Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.
a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân
b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.
c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh: Tứ giác APMR là hình thang có \(\widehat {ABC} = \widehat {APM}\) nên tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Chứng minh: AM = PR ; BM = PQ; MC = PQ nên PR + BM + QR = MA + MB + MC.
c) Vì điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC do đó M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {60^o}\)
Vì PM // BC nên \(\widehat {ABC} = \widehat {APM} = {60^o}\) (hai góc đồng vị)
suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {APM} \)
Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có \(\widehat {BAC} = \widehat {APM}\)
Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR (1)
Vì MQ // AC nên \(\widehat {BQM} = \widehat {ACB} = {60^o}\) (hai góc đồng vị)
suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {BQM} \)
Tứ giác BPMQ là hình thang (vì PM // BQ) có \(\widehat {ABC} = \widehat {BQM} \) nên BPMQ là hình thang cân.
Suy ra BM = PQ (2)
Tương tự, tứ giác QMRC là hình thang (vì QM // RC) có \(\widehat {MRC} = \widehat {RCQ}\) (cùng bằng góc BAC) nên QMRC là hình thang cân.
Suy ra MC = QR (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra PR + BM + QR = MA + MB + MC.
Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).
c) Vì chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC
Để tam giác PQR là tam giác đều thì PQ = QR = PR suy ra MA = MB = MC
Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).
Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.
Trước khi đi vào giải chi tiết bài 3.12, chúng ta cùng ôn lại một số kiến thức quan trọng liên quan đến các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng:
Bài 3.12 yêu cầu chúng ta chứng minh một tính chất liên quan đến các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng. Cụ thể, bài tập thường đưa ra một hình vẽ với hai đường thẳng song song và một đường thẳng cắt, yêu cầu chứng minh một mối quan hệ giữa các góc.
Để giải bài 3.12, chúng ta cần:
Ví dụ minh họa (giả sử bài tập yêu cầu chứng minh hai góc so le trong bằng nhau):
Giả thiết: a // b, c cắt a và b tại A và B.
Kết luận: ∠A1 = ∠B1 (với ∠A1 và ∠B1 là hai góc so le trong).
Chứng minh:
Vì a // b và c cắt a và b nên ∠A1 = ∠B1 (tính chất hai đường thẳng song song cắt nhau).
Sau khi đã nắm vững cách giải bài 3.12, các em có thể tự giải các bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng. Các bài tập tương tự thường yêu cầu chứng minh các mối quan hệ khác giữa các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
Bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp các em tự tin hơn khi giải các bài tập toán học khác.
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ giải bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức một cách dễ dàng và hiệu quả.
